Copilot etudie les travaux de Ivano Ghirardini 1971

 Axiomes et modèle formel pour une division ensembliste : vers une opération totale Vie / Non‑Vie

Résumé

Nous proposons une formalisation axiomatique minimale d’une opération dite division ensembliste, inspirée des idées de Ghirardini. L’opération est totale sur $\mathcal{P}(W)\times \mathcal{P}(W)$ et introduit des objets de mémoire $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ associés aux complémentaires $0(E)=W\setminus E$. Nous énonçons un jeu d’axiomes, démontrons des propriétés élémentaires, construisons un modèle canonique interprétable dans ZF (identification $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)=\mathcal{P}(E)$), et proposons des directions pour l’extension algébrique, la traduction catégorique et la mise en relation avec des grandeurs informationnelles. Le texte est rédigé pour soumission à une revue de logique mathématique ou de fondements de l’information.

1 Définitions et cadre

Univers Soit $W$ un ensemble non vide fixé. On note $\mathcal{P}(W)$ l’ensemble de ses parties.

Complémentaire relatif Pour tout $E\subseteq W$ on pose

$$0(E):=W\setminus E\mathrm{.}$$

Objets Vie et Non‑Vie

• Vie : tout $a\in \mathcal{P}(W)$.

• Non‑Vie : pour chaque $E\subseteq W$ on introduit un symbole $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ représentant la mémoire ou l’information totale relative à $E$.

Codomaine

$$\mathcal{V}:=\mathcal{P}(W)\cup \{\mathrm{N}\mathrm{V}(E):E\subseteq W\}\mathrm{.}$$

Opération de division ensembliste On considère une application totale

$$\mathrm{/}:\mathcal{P}(W)\times \mathcal{P}(W)⟶\mathcal{V},(a,b)\mapsto a\mathrm{/}b\mathrm{.}$$

2 Axiomes fondamentaux

Nous posons le jeu d’axiomes suivant, minimal et destiné à capturer l’intuition centrale : diviser par un complémentaire renvoie une entité de mémoire.

A1 Totalité Pour tous $a,b\subseteq W$, $a\mathrm{/}b\in \mathcal{V}$.

A2 Identité universelle Pour tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}W=a\mathrm{.}$$

A3 Projection mémoire Pour tout $E\subseteq W$ et tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{.}$$

A4 Auto zéro Pour tout $E\subseteq W$,

$$0(E)\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{.}$$

A5 Cohérence diagonale Pour tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}a=a\mathrm{.}$$

A6 Monotonie partielle Pour tout $b\subseteq W$ fixé, si $a\subseteq a^{\mathrm{\prime }}$ et $a\mathrm{/}b,a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b\in \mathcal{P}(W)$ alors $a\mathrm{/}b\subseteq a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b$.

3 Propriétés élémentaires

Nous déduisons quelques propriétés immédiates utiles pour la manipulation formelle.

Proposition 3.1 Constante sur zéros Si $b=0(E)$ alors la fonction $a\mapsto a\mathrm{/}b$ est constante et égale à $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

Preuve Par A3, pour tout $a\subseteq W$ on a $a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$. ∎

Proposition 3.2 Identité et idempotence Pour tout $a\subseteq W$, $a\mathrm{/}W=a$ et $a\mathrm{/}a=a$.

Preuve La première égalité est A2, la seconde est A5. ∎

Proposition 3.3 Composition partielle avec zéros Pour tous $a,E\subseteq W$ et tout $b\subseteq W$,

$$(a\mathrm{/}0(E))\mathrm{/}b=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{/}b,$$

et en particulier $(a\mathrm{/}0(E))\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

Preuve Par A3, $a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$. L’existence de $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{/}b$ est assurée par A1. Pour $b=0(E)$ on applique A4. ∎

Remarque 3.4 Non associativité L’opération $\mathrm{/}$ n’est pas supposée associative. L’introduction d’axiomes supplémentaires est nécessaire pour obtenir des lois de composition (par exemple une loi reliant $(a\mathrm{/}b)\mathrm{/}c$ et $a\mathrm{/}(b\cap c)$).

4 Modèle canonique dans ZF

Pour démontrer la consistance relative et fournir un modèle concret, nous proposons l’interprétation suivante.

Interprétation canonique Identifier chaque symbole $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ à l’objet $\mathcal{P}(E)$ (l’ensemble des sous‑ensembles de $E$). Définir pour $a,b\subseteq W$ :

$$a\mathrm{/}b:=\{\begin{array}{cccc}a& \text{si }b=W,\text{[}4pt]\mathcal{P}(E)& \text{si }b=0(E)\text{ pour un certain }E\subseteq W,\text{[}4pt]a\cap (W\setminus b)& \text{sinon.}\end{array}$$

Proposition 4.1 Validité des axiomes La définition ci‑dessus satisfait A1–A6 après la convention $a\mathrm{/}a:=a$ dans la clause « sinon ».

Preuve

• A1 : chaque cas renvoie un élément de $\mathcal{V}$.

• A2 : si $b=W$ alors $a\mathrm{/}b=a$.

• A3 : si $b=0(E)$ alors $a\mathrm{/}b=\mathcal{P}(E)$, identifié à $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

• A4 : $0(E)\mathrm{/}0(E)=\mathcal{P}(E)$.

• A5 : on impose $a\mathrm{/}a:=a$ pour la clause « sinon ».

• A6 : pour la clause $a\cap (W\setminus b)$ la monotonie est immédiate. ∎

Consistance relative Si ZF est consistante, l’extension qui adopte l’identification $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)=\mathcal{P}(E)$ et la définition ci‑dessus est consistante. Ainsi la théorie axiomatique A1–A6 est cohérente relative à ZF.

Variante avec urééléments On peut au lieu de l’identification introduire des urééléments distincts $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{\notin }\mathcal{P}(W)$. Cette option exige ZF avec urééléments et la construction d’un modèle ad hoc ; elle préserve la séparation ontologique Vie/Non‑Vie.

5 Extensions, interprétations et applications potentielles

5.1 Lois algébriques supplémentaires Pour rendre la structure plus riche on peut ajouter des axiomes tels que :

• Idempotence mémoire : $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

• Réversibilité partielle : existence, pour certains $b$, d’un $c$ tel que $(a\mathrm{/}b)\mathrm{/}c=a$.

• Distributivité relative : règles liant $\mathrm{/}$ aux opérations booléennes $\cup ,\cap ,\setminus$.

5.2 Traduction catégorique Interpréter la division comme un foncteur bilinéaire $D:\mathcal{P}(W)\times \mathcal{P}(W)\to \mathcal{V}$. Rechercher des adjoints (left/right Kan extensions) ou une factorisation via un objet puissance dans un topos peut clarifier la nature informationnelle de $\mathrm{N}\mathrm{V}(\cdot )$.

5.3 Interprétation informationnelle Identifier $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ à un espace d’informations (par ex. $\mathcal{P}(E)$ ou un ensemble de codes) permet de relier la structure à des grandeurs mesurables : entropie, capacité d’information, complexité algorithmique. On peut alors étudier la conservation d’information formalisée par des invariants de $D_b$.

5.4 Modèles numériques et simulations Implémenter le modèle canonique sur un $W$ fini (par ex. $\mathrm{\mid }W\mathrm{\mid }=n$) et simuler dynamiques Vie→Non‑Vie, transferts d’information et invariants. Ces toy models servent à explorer comportements émergents et à proposer prédictions qualitatives.

5.5 Liens avec physique théorique Pour une application physique, il faut définir une correspondance précise entre $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ et grandeurs physiques (entropie d’un horizon, espace latent d’information). Toute proposition de ce type doit fournir prédictions numériques testables (ordres de grandeur, signatures observationnelles).

6 Conclusion et recommandations pour soumission

Conclusion Nous avons présenté un jeu d’axiomes minimal pour une division ensembliste totale, démontré des propriétés élémentaires et construit un modèle canonique interprétable dans ZF. La formalisation rend l’intuition de projection vers une mémoire explicite et manipulable mathématiquement.