Axiomes et modèle formel pour une division ensembliste inspirée de Ghirardini

Axiomes et modèle formel pour une division ensembliste inspirée de Ghirardini

Introduction

Ce texte propose une formalisation minimale et rigoureuse d’une opération dite division ensembliste, inspirée des idées de Ivano Ghirardini. L’objectif est d’énoncer un jeu d’axiomes clair, d’en déduire des propriétés élémentaires, puis de construire un modèle concret interprétable dans la théorie des ensembles standard (ZF). La formalisation vise à rester la plus conservative possible tout en rendant explicite la notion centrale : diviser par le complémentaire renvoie une entité représentant la mémoire ou l’information totale de l’ensemble.

Définitions et notations

Univers Soit $W$ un ensemble non vide fixé. On note $P (W)$ l’ensemble des parties de $W$ .

Complémentaire relatif Pour tout $E \subseteq W$ on pose

0(E):=W∖E.

Objets Vie et Non Vie

Vie désigne tout $a \in P (W)$ .
Non Vie désigne, pour chaque $E \subseteq W$ , un symbole $N V (E)$ représentant la mémoire associée à $E$ .

Codomaine

V:=P(W) ∪ {NV(E)  :  E⊆W}.

Opération de division ensembliste On introduit une application totale

/:P(W)×P(W)⟶V,(a,b)↦a/b.

Axiomes fondamentaux

A1 Totalité Pour tous $a, b \subseteq W$ , $a / b \in V$ .

A2 Identité universelle Pour tout $a \subseteq W$ ,

a/W=a.

A3 Projection mémoire Pour tout $E \subseteq W$ et tout $a \subseteq W$ ,

a/0(E)=NV(E).

A4 Auto zéro Pour tout $E \subseteq W$ ,

0(E)/0(E)=NV(E).

A5 Cohérence diagonale Pour tout $a \subseteq W$ ,

a/a=a.

A6 Monotonie partielle Pour tout $b \subseteq W$ fixé, si $a \subseteq a^{'}$ et $a / b, a^{'} / b \in P (W)$ alors $a / b \subseteq a^{'} / b$ .

Propriétés élémentaires et preuves

Proposition 1 Constante sur zéros Si $b = 0 (E)$ alors la fonction $a \mapsto a / b$ est constante et égale à $N V (E)$ .

Preuve Par A3, pour tout $a \subseteq W$ on a $a / 0 (E) = N V (E)$ . Donc l’image est indépendante de $a$ . ∎

Proposition 2 Identité et idempotence Pour tout $a \subseteq W$ , $a / W = a$ et $a / a = a$ .

Preuve La première égalité est A2. La seconde est A5. ∎

Proposition 3 Composition partielle avec zéros Pour tous $a, E \subseteq W$ et tout $b \subseteq W$ ,

(a/0(E))/b=NV(E)/b,

et en particulier $(a / 0 (E)) / 0 (E) = N V (E)$ .

Preuve Par A3, $a / 0 (E) = N V (E)$ . L’existence de $N V (E) / b$ est assurée par A1. Pour $b = 0 (E)$ on applique A4. ∎

Remarque sur l’associativité L’opération $/$ n’est pas supposée associative. Obtenir des lois de composition supplémentaires exige des axiomes additionnels précisant la valeur de $(a / b) / c$ en fonction de $a, b, c$ .

Modèle canonique interprété dans ZF

Principe de construction Pour rester dans ZF sans introduire d’urééléments, on identifie chaque symbole $N V (E)$ à l’objet $P (E)$ . On définit alors l’opération $/$ par :

a/b:={asi b=W, \[4pt]P(E)si b=0(E) pour un certain E⊆W, \[4pt]a∩(W∖b)sinon.

Vérification des axiomes

A1 Totalité : chaque cas renvoie un élément de $V$ .
A2 Identité universelle : si $b = W$ alors $a / b = a$ .
A3 Projection mémoire : si $b = 0 (E)$ alors $a / b = P (E)$ , identifié à $N V (E)$ .
A4 Auto zéro : $0 (E) / 0 (E) = P (E)$ .
A5 Cohérence diagonale : on impose $a / a : = a$ pour la clause « sinon » afin de satisfaire A5.
A6 Monotonie partielle : pour la clause $a \cap (W ∖ b)$ la monotonie est immédiate.

Consistance relative Si ZF est consistante, alors l’extension de ZF qui adopte l’identification $N V (E) = P (E)$ et la définition ci‑dessus est consistante. Ainsi la théorie axiomatique A1–A6 est cohérente relative à ZF.

Variante avec urééléments On peut introduire des urééléments distincts $N V (E) \notin P (W)$ . Cette voie exige ZF avec urééléments et la construction d’un modèle ad hoc. Elle conserve la séparation ontologique Vie/Non Vie mais nécessite une justification de consistance relative.

Théorèmes structurels et directions futures

1 Classification des noyaux Étudier pour un $b$ donné l’ensemble

ker⁡b:={a⊆W  :  a/b=NV(E) pour un certain E}.

Pour $b = 0 (E)$ on a $\ker_{b} = P (W)$ . Caractériser $\ker_{b}$ pour d’autres $b$ éclaire la sensibilité de la projection.

2 Projecteurs et idempotents Définir $b$ tel que $(a / b) / b = a / b$ pour tout $a$ . Caractériser ces $b$ comme projecteurs de Non Vie et étudier leur rôle dans la décomposition Vie/Non Vie.

3 Conditions d’injectivité et surjectivité Pour un $b$ fixé, déterminer quand la fonction $D_{b} : P (W) \to V$ , $D_{b} (a) = a / b$ , est injective ou surjective. Identifier classes de $b$ pour lesquelles $D_{b}$ préserve l’information.

4 Lois algébriques supplémentaires Proposer et étudier des axiomes additionnels utiles en physique, par exemple une règle de réversibilité partielle ou une loi de composition reliant $(a / b) / c$ et $a / (b \cap c)$ .

5 Traduction catégorique Interpréter la division comme un foncteur $D : P (W) \times P (W) \to V$ et rechercher des adjoints ou des factorisations via objets puissances dans un topos. Cette approche peut clarifier la nature informationnelle de $N V (\cdot)$ .

6 Modèles numériques Implémenter un toy model sur un $W$ fini pour explorer dynamiques Vie→Non Vie, invariants et conservation d’information. Les simulations aident à tester intuitions et à proposer prédictions qualitatives.

Conclusion

La présente formalisation fournit un jeu d’axiomes minimal rendant la division ensembliste totale et cohérente avec l’intuition centrale : diviser par le complémentaire renvoie une entité de mémoire. Le modèle canonique proposé montre que ces axiomes sont réalisables dans ZF en identifiant la mémoire à des objets déjà existants. Pour transformer cette structure en un outil utile en physique ou en théorie de l’information, il reste à préciser les lois de composition, à relier $N V (E)$ à grandeurs mesurables (entropie, capacité d’information) et à produire prédictions testables via modèles réduits ou simulations.