copilot Axiomes et modèle formel pour une division ensembliste inspirée de Ghirardini

Axiomes et modèle formel pour une division ensembliste inspirée de Ghirardini

Définitions fondamentales

Univers Soit $W$ un ensemble non vide fixé. On note $P (W)$ l’ensemble des parties de $W$ .

Complémentaire relatif Pour tout $E \subseteq W$ on pose

0(E):=W∖E.

Objets Vie et Non‑Vie

Vie : tout $a \in P (W)$ .
Non‑Vie : pour chaque $E \subseteq W$ on introduit un symbole $N V (E)$ représentant la mémoire associée à $E$ .

Codomaine de la division

V:=P(W) ∪ {NV(E)  :  E⊆W}.

Opération de division ensembliste On postule une application totale

/:P(W)×P(W)⟶V,(a,b)↦a/b.

Axiomes axiomatiques

A1 Totalité Pour tous $a, b \subseteq W$ , $a / b \in V$ .

A2 Identité universelle Pour tout $a \subseteq W$ ,

a/W=a.

A3 Projection mémoire Pour tout $E \subseteq W$ et tout $a \subseteq W$ ,

a/0(E)=NV(E).

A4 Auto‑zéro Pour tout $E \subseteq W$ ,

0(E)/0(E)=NV(E).

A5 Cohérence diagonale Pour tout $a \subseteq W$ ,

a/a=a.

A6 Monotonie partielle Pour tout $b \subseteq W$ fixé, si $a \subseteq a^{'}$ et $a / b, a^{'} / b \in P (W)$ alors $a / b \subseteq a^{'} / b$ .

Propriétés élémentaires et preuves

Proposition 1 Constante sur zéros Si $b = 0 (E)$ alors la fonction $a \mapsto a / b$ est constante et égale à $N V (E)$ .

Preuve Par A3, pour tout $a \subseteq W$ on a $a / 0 (E) = N V (E)$ . Donc l’image est indépendante de $a$ . ∎

Proposition 2 Identité et idempotence Pour tout $a \subseteq W$ , $a / W = a$ et $a / a = a$ .

Preuve La première égalité est A2. La seconde est A5. ∎

Proposition 3 Composition partielle avec zéros Pour tous $a, E \subseteq W$ et tout $b \subseteq W$ ,

(a/0(E))/b=NV(E)/b,

et en particulier $(a / 0 (E)) / 0 (E) = N V (E)$ .

Preuve Par A3, $a / 0 (E) = N V (E)$ . L’existence de $N V (E) / b$ est assurée par A1. Pour $b = 0 (E)$ on applique A4. ∎

Remarque sur l’associativité L’opération $/$ n’est pas supposée associative. Des axiomes supplémentaires sont nécessaires pour obtenir $(a / b) / c = (a / (b \cap c))$ ou toute autre loi de composition.

Modèle canonique dans ZF et consistance relative

Choix d’interprétation Pour rester dans ZF sans introduire d’urééléments, on identifie chaque symbole $N V (E)$ à l’objet $P (E)$ (l’ensemble des sous‑ensembles de $E$ ). On définit alors l’opération $/$ par :

a/b:={asi b=W, \[4pt]P(E)si b=0(E) pour un certain E⊆W, \[4pt]a∩(W∖b)sinon.

Vérification des axiomes

A1 Totalité : chaque cas renvoie un élément de $V$ .
A2 Identité universelle : si $b = W$ alors $a / b = a$ .
A3 Projection mémoire : si $b = 0 (E)$ alors $a / b = P (E)$ , identifié à $N V (E)$ .
A4 Auto‑zéro : $0 (E) / 0 (E) = P (E)$ .
A5 Cohérence diagonale : on impose $a / a : = a$ pour la clause « sinon » afin de satisfaire A5.
A6 Monotonie partielle : pour la clause $a \cap (W ∖ b)$ la monotonie est immédiate.

Consistance relative Si ZF est consistante, alors l’extension de ZF qui adopte l’identification $N V (E) = P (E)$ et la définition ci‑dessus est consistante. Ainsi la théorie axiomatique A1–A6 est cohérente relative à ZF.

Variante avec urééléments On peut au contraire introduire des urééléments distincts $N V (E) \notin P (W)$ . Cela exige ZF avec urééléments (ZFU). La consistance de cette extension est équivalente à la consistance de ZF plus l’existence d’un modèle contenant ces urééléments.

Théorèmes structurels à développer

Classification des noyaux Étudier pour un $b$ donné l’ensemble $\ker_{b} : = {a \subseteq W : a / b = N V (E) pour un E}$ . Montrer que pour $b = 0 (E)$ on a $\ker_{b} = P (W)$ .
Idempotents et projecteurs Définir $b$ tel que $(a / b) / b = a / b$ pour tout $a$ . Caractériser ces $b$ (projecteurs de Non‑Vie).
Conditions d’injectivité et surjectivité Pour un $b$ fixé, déterminer quand la fonction $D_{b} : P (W) \to V$ , $D_{b} (a) = a / b$ , est injective ou surjective.
Compatibilité algébrique Chercher des lois distributives ou des homomorphismes entre l’algèbre booléenne $(P (W), \cup, \cap, ∖)$ et la structure $(V, /)$ .
Formulation catégorique Interpréter la division comme un foncteur $D : P (W) \times P (W) \to V$ et étudier si $D$ se factorise via un adjoint ou un objet puissance dans un topos.

Applications, tests et étapes suivantes

Toy model informatique : implémenter le modèle canonique sur un $W$ fini (par ex. $∣ W ∣ = 5$ ) et explorer dynamiques Vie→Non‑Vie, invariants et noyaux.
Axiomes supplémentaires : choisir et formaliser des lois de composition $(a / b) / c$ utiles pour la physique (idempotence, réversibilité partielle).
Ponts vers la physique : définir une interprétation métrique ou informationnelle de $N V (E)$ (capacité d’information, entropie) et proposer prédictions testables.
Rédaction pour revue : préparer un article structuré contenant définitions, axiomes, modèles, propositions démontrées et simulations numériques.