analyse par copilot IA

 

Objectif

Formaliser, de façon claire et minimaliste, une division ensembliste inspirée des idées de Ghirardini : une opération totale qui, lorsqu’on divise par le « zéro » (le complémentaire), restitue une entité représentant la mémoire totale (Non‑Vie) de l’ensemble. Je fournis un jeu d’axiomes, des définitions, des propriétés dérivées, un modèle simple et des pistes pour rendre la construction rigoureuse dans un cadre mathématique standard.

1 Définitions de base et univers de discours

Univers ambiant Soit $W$ un ensemble fixé (l’« univers » ambiant). On note $\mathcal{P}(W)$ son ensemble des parties.

Complémentaire relatif Pour tout $E\subseteq W$ on définit le complémentaire relatif

$$0(E):=W\setminus E\mathrm{.}$$

Deux sortes d’objets

• Vie : éléments ordinaires $a\in \mathcal{P}(W)$ (sous‑ensembles de $W$).

• Non‑Vie : symboles formels $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ associés à chaque $E\subseteq W$. Intuition : $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ représente la « mémoire totale » ou l’information complète relative à $E$.

Ensemble des valeurs possibles de la division

$$\mathcal{V}:=\mathcal{P}(W)\cup \{\mathrm{N}\mathrm{V}(E):E\subseteq W\}\mathrm{.}$$

2 Axiomes pour l’opération de division ensembliste

On introduit une opération totale

$$\mathrm{/}:\mathcal{P}(W)\times \mathcal{P}(W)⟶\mathcal{V},(a,b)\mapsto a\mathrm{/}b,$$

satisfaisant les axiomes suivants.

A1 Totalité Pour tous $a,b\subseteq W$, $a\mathrm{/}b$ est bien défini et appartient à $\mathcal{V}$.

A2 Identité relative Si $b=W$ (l’ensemble universel), alors

$$\mathrm{\forall }a\subseteq Wa\mathrm{/}W=a\mathrm{.}$$

A3 Projection sur la mémoire (principe central) Pour tout $E\subseteq W$ et tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{.}$$

En particulier, pour l’univers $U$ choisi, $x\mathrm{/}0(U)=\mathrm{N}\mathrm{V}(U)$ pour tout $x\in \mathcal{P}(W)$.

A4 Auto‑zéro Pour tout $E\subseteq W$,

$$0(E)\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{.}$$

A5 Compatibilité avec l’identité de Vie Si $b$ est un sous‑ensemble tel que $b$ joue le rôle d’« unité » locale (par exemple $b=a$ dans un contexte donné), on impose la cohérence minimale suivante (optionnelle selon le modèle) :

$$\text{si }b=a\text{ alors }a\mathrm{/}b=a\mathrm{.}$$

(ceci formalise l’idée que diviser par un « dénominateur identique » restitue l’élément en Vie).

A6 Monotonie faible Pour tout $b\subseteq W$ fixé, la fonction $a\mapsto a\mathrm{/}b$ est monotone au sens suivant : si $a\subseteq a^{\mathrm{\prime }}$ et $a\mathrm{/}b,a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b\in \mathcal{P}(W)$ alors $a\mathrm{/}b\subseteq a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b$. (La présence des valeurs $\mathrm{N}\mathrm{V}(\cdot )$ impose de préciser la monotonicité selon le codomaine choisi.)

3 Propriétés dérivées et lectures

• Totalité sans indétermination : l’opération est définie pour toutes les paires $(a,b)$ — il n’y a pas de « division indéfinie ». Le cas qui, en arithmétique classique, serait $a\mathrm{/}0$ renvoie ici à un objet d’information $\mathrm{N}\mathrm{V}(\cdot )$.

• Projection d’information : diviser par $0(E)$ efface la « génération » (Vie) et renvoie la mémoire complète de $E$. Formellement $a\mathrm{/}0(E)$ ne dépend pas de $a$ (axiome A3).

• Non injectivité : pour un $b$ de type zéro, la fonction $a\mapsto a\mathrm{/}b$ est constante (tous les $a$ donnent la même $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$). Pour $b=W$, la fonction est l’identité.

• Comportement mixte : pour des $b$ généraux (ni $W$ ni explicitement d’un type « zéro »), la définition ci‑dessus laisse une latitude de modélisation ; on peut choisir un modèle où $a\mathrm{/}b$ est une opération combinant intersection, projection ou élévation vers $\mathrm{N}\mathrm{V}(\cdot )$.

4 Modèles concrets (exemples)

Je propose deux modèles simples qui réalisent les axiomes ci‑dessus.

Modèle A Minimal (symbolique)

• Domaine : $\mathcal{V}=\mathcal{P}(W)\cup \{\mathrm{N}\mathrm{V}(E):E\subseteq W\}$.

• Définition de / :

$$a\mathrm{/}b:=\{\begin{array}{cccc}a& \text{si }b=W,\text{[}4pt]\mathrm{N}\mathrm{V}(E)& \text{si }b=0(E)\text{ pour un certain }E\subseteq W,\text{[}4pt]a\cap b& \text{sinon.}\end{array}$$

• Commentaires : ce modèle satisfait A1–A4. Le cas « sinon » est une convention utile pour donner un sens à la division générale ; d’autres choix sont possibles (p.ex. $a\setminus b$, projection sur $W\setminus b$, etc.).

Modèle B Informationnel (puissance d’information)

• Domaine : $\mathcal{V}=\mathcal{P}(W)\cup \{\mathrm{N}\mathrm{V}(E):E\subseteq W\}$ avec interprétation $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\simeq \mathcal{P}(E)$ (la mémoire de $E$ est l’ensemble de toutes les informations possibles sur $E$).

• Définition de / :

$$a\mathrm{/}b:=\{\begin{array}{cccc}a& \text{si }b=W,\text{[}4pt]\mathcal{P}(E)& \text{si }b=0(E),\text{[}4pt]a\cap (W\setminus b)& \text{sinon.}\end{array}$$

• Commentaires : ici $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ est identifié à $\mathcal{P}(E)$, ce qui donne une lecture informationnelle nette : diviser par le complément de $E$ renvoie l’ensemble de toutes les informations relatives à $E$.

5 Cohérence avec la théorie des ensembles standard et remarques techniques

• Urééléments et extension de ZF : pour formaliser rigoureusement $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ on peut introduire, dans un cadre ZF étendu, des urééléments ou des constantes nouvelles $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ pour chaque $E$. Alternativement on identifie $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ à un objet déjà présent (par ex. $\mathcal{P}(E)$) pour rester dans ZF sans nouveaux symboles.

• Ambiguïtés à lever : la définition générale de $a\mathrm{/}b$ pour $b$ quelconque n’est pas unique ; il faut choisir une sémantique (projection, intersection, élévation vers information). Les axiomes A2–A4 fixent le comportement sur les cas essentiels (identité et division par compléments) ; le reste peut être axiomatisé selon l’application visée.

• Compatibilité algébrique : on peut chercher une présentation algébrique (opérateurs, lois) en considérant l’algèbre à deux niveaux $(\mathcal{P}(W),\{\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\})$ et en définissant des homomorphismes entre structures Vie et Non‑Vie. Une approche catégorique verrait la division comme un foncteur $D_b:\mathcal{P}(W)\to \mathcal{V}$.

• Lien avec GF(2) et logique binaire : en restreignant à singletons et en prenant indicatrices, on peut faire correspondre la table de division proposée par Ghirardini à une table sur $\{0,1\}$ (p.ex. $1\mathrm{/}0\mapsto (0,1)$). Il faut cependant distinguer la sémantique booléenne (valeurs) de la sémantique informationnelle (ensembles de sous‑ensembles).

6 Prochaines étapes pour une formalisation complète

• Choisir un modèle canonique : décider si $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ est un nouveau symbole (uréélément) ou s’il s’identifie à $\mathcal{P}(E)$. La seconde option est plus conservative (reste dans ZF).

• Axiomes supplémentaires : préciser la loi de composition pour $a\mathrm{/}b$ quand $b$ n’est ni $W$ ni un complémentaire explicite ; formaliser monotonicité, distributivité éventuelle, et règles de composition $(a\mathrm{/}b)\mathrm{/}c$.

• Théorèmes de consistance : montrer que l’extension axiomatique est cohérente relative à ZF (construire un modèle dans ZF ou ZF+urelements).

• Construire toy models numériques : implémenter le Modèle B sur un petit $W$ fini et vérifier propriétés algébriques et comportement informationnel (simulation).

• Relier à des cadres existants : explorer correspondances avec la théorie des topos, la logique des informations (domain theory), et les structures de puissance (power objects) en théorie des catégories.

Conclusion synthétique

Je propose un cadre axiomatique minimal (A1–A6) qui capture l’intuition centrale : la division par le complémentaire renvoie une entité de « mémoire » (Non‑Vie) et l’opération est totale. Deux modèles concrets (symbolique et informationnel) montrent comment réaliser ces axiomes dans la pratique. Pour rendre la théorie pleinement rigoureuse et utile en physique ou en mathématiques, il reste à choisir une sémantique canonique pour $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$, ajouter des axiomes pour les cas généraux, et démontrer la consistance relative par construction de modèles.