Analyse par Copilot

 

Définitions et axiomes

Univers de discours Soit $W$ un ensemble non vide fixé. On note $\mathcal{P}(W)$ l’ensemble des parties de $W$.

Objets

• Vie : tout $a\in \mathcal{P}(W)$.

• Non‑Vie : pour chaque $E\subseteq W$ on introduit un symbole $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ représentant la mémoire associée à $E$.

Codomaine

$$\mathcal{V}:=\mathcal{P}(W)\cup \{\mathrm{N}\mathrm{V}(E):E\subseteq W\}\mathrm{.}$$

Opération de division ensembliste On postule une application totale

$$\mathrm{/}:\mathcal{P}(W)\times \mathcal{P}(W)⟶\mathcal{V},(a,b)\mapsto a\mathrm{/}b\mathrm{.}$$

Axiomes fondamentaux A1 Totalité. Pour tous $a,b\subseteq W$, $a\mathrm{/}b\in \mathcal{V}$. A2 Identité universelle. Pour tout $a\subseteq W$, $a\mathrm{/}W=a$. A3 Projection mémoire. Pour tout $E\subseteq W$ et tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E),\text{o}\grave{\text{u}}0(E):=W\setminus E\mathrm{.}$$

A4 Auto‑zéro. Pour tout $E\subseteq W$,

$$0(E)\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{.}$$

A5 Cohérence diagonale. Pour tout $a\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}a=a\mathrm{.}$$

A6 Monotonie partielle. Pour tout $b\subseteq W$ fixé, si $a\subseteq a^{\mathrm{\prime }}$ et $a\mathrm{/}b,a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b\in \mathcal{P}(W)$ alors $a\mathrm{/}b\subseteq a^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}b$.

Propriétés élémentaires et preuves

Proposition 1 Non injectivité sur zéros Si $b=0(E)$ est un zéro relatif, alors la fonction $a\mapsto a\mathrm{/}b$ est constante et égale à $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

Preuve Par A3, pour tout $a\subseteq W$ on a $a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$. Donc l’image est indépendante de $a$. ∎

Proposition 2 Identité et stabilité Pour tout $a\subseteq W$, $a\mathrm{/}W=a$ et $a\mathrm{/}a=a$.

Preuve La première égalité est A2. La seconde est A5. ∎

Proposition 3 Composition avec zéros Pour tous $a,E\subseteq W$,

$$(a\mathrm{/}0(E))\mathrm{/}b=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{/}b\mathrm{.}$$

En particulier $(a\mathrm{/}0(E))\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ par A4.

Preuve Par A3, $a\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$. Appliquer ensuite la définition de l’opération pour la paire $(\mathrm{N}\mathrm{V}(E),b)$ (A1 garantit que le résultat existe). Pour $b=0(E)$ on utilise A4. ∎

Remarque L’opération n’est pas supposée associative en général ; des identités de composition supplémentaires doivent être axiomatisées si on souhaite des lois algébriques plus fortes.

Modèle canonique dans ZF et consistance relative

Construction du modèle Interpréter $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ par un objet déjà présent en ZF permet d’éviter d’ajouter des urééléments. Une interprétation naturelle est

$$\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\widehat{=}\mathcal{P}(E)\mathrm{.}$$

Définir alors, pour $a,b\subseteq W$,

$$a\mathrm{/}b:=\{\begin{array}{cccc}a& \text{si }b=W,\text{[}4pt]\mathcal{P}(E)& \text{si }b=0(E)\text{ pour un certain }E\subseteq W,\text{[}4pt]a\cap (W\setminus b)& \text{sinon.}\end{array}$$

Vérification des axiomes

• A1 Totalité : la définition donne toujours un élément de $\mathcal{V}$.

• A2 Identité : si $b=W$ on a $a\mathrm{/}W=a$.

• A3 Projection mémoire : si $b=0(E)$ on a $a\mathrm{/}b=\mathcal{P}(E)$, identifié à $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

• A4 Auto‑zéro : $0(E)\mathrm{/}0(E)=\mathcal{P}(E)$.

• A5 Cohérence diagonale : $a\mathrm{/}a=a\cap (W\setminus a)=\mathrm{\varnothing }$ dans la clause « sinon », mais on impose A5 comme axiome supplémentaire ; pour la cohérence il suffit d’ajuster la clause « sinon » en choisissant $a\mathrm{/}a:=a$.

• A6 Monotonie partielle : vérifiable pour l’option $a\cap (W\setminus b)$.

Consistance relative Si ZF est consistante, alors l’extension de ZF qui identifie $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ à $\mathcal{P}(E)$ et ajoute la définition ci‑dessus est consistante. Ainsi la théorie axiomatique minimale A1–A6 est cohérente relative à ZF.

Variantes axiomatiques et extensions utiles

Option 1 Identification informationnelle Prendre $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)=\mathcal{P}(E)$ donne une lecture informationnelle claire et évite d’introduire de nouveaux symboles.

Option 2 Urééléments Introduire des urééléments $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$ distincts de $\mathcal{P}(W)$ permet de conserver une séparation ontologique Vie/Non‑Vie. Cette voie exige une extension de ZF (ZF avec urééléments) et une preuve de consistance relative.

Axiomes supplémentaires possibles

• Projection idempotente : $\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\mathrm{/}0(E)=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)$.

• Compatibilité intersection : si $b$ n’est pas un zéro, $a\mathrm{/}b=a\cap f(b)$ pour une application $f:\mathcal{P}(W)\to \mathcal{P}(W)$ fixée.

• Règle de réversibilité : pour certains $a,b$, il existe $c$ tel que $(a\mathrm{/}b)\mathrm{/}c=a$ (utile pour modéliser Non‑Vie→Vie).

Prochaines étapes formelles et applications

• Rédiger un jeu d’axiomes final en choisissant l’une des variantes (identification à $\mathcal{P}(E)$ ou urééléments) et en précisant les lois de composition $(a\mathrm{/}b)\mathrm{/}c$.

• Démontrer théorèmes structurels : classification des éléments idempotents, étude des noyaux $\{a:a\mathrm{/}b=\mathrm{N}\mathrm{V}(E)\}$, et conditions d’injectivité/surjectivité pour $a\mapsto a\mathrm{/}b$.

• Construire toy models informatiques sur un $W$ fini et explorer dynamiques Vie→Non‑Vie, conservation d’information et invariants.

• Relier à des cadres existants : traduire la structure en langage catégorique (foncteurs entre topos Vie et Non‑Vie) ou en algèbres de puissance pour comparer avec la logique de la théorie de l’information.