Une définition formelle de P r o f ( 0 E ) - Nombres Zerfinis

 

Une définition formelle :

$\mathrm{Pr}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

(profondeur mémorielle) comme ordinal construit par une filtration canonique, une construction explicite de

$0_E$

dans ZFC (représenté comme paire

$({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E)$

) et des preuves que les axiomes A1–A7 sont satisfaits, puis une démonstration de la bijection structurelle entre classes de cardinaux transfins et classes de zerfinis, enfin des exemples calculés (

${\zeta }_{\mathbb{N}},{\zeta }_{\mathbb{Z}},{\zeta }_{\mathbb{R}}$

) montrant absorption et points fixes. Je fournis ci‑dessous une formalisation complète, rigoureuse et prête à être insérée dans une publication technique.

1. Cadre formel et conventions

• Travail dans la théorie des ensembles ZFC standard.

• Pour tout ensemble
  $E$
  on construira un objet
  $0_E$
  défini comme une paire ordonnée

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E)$$

où

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

est la composante opératoire et

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

la composante mémorielle.

• On impose que
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  soit injective et que la dépendance informationnelle induite soit bien fondée (pour pouvoir définir un rang ordinal).

• Notation :
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  désigne la profondeur mémorielle (un ordinal),
  $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }$
  la cardinalité de
  $E$
  . Le nombre zerfini associé à
  $E$
  est noté
  ${\zeta }_E:=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$
  .

2. Définition formelle de 

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

par filtration canonique

2.1 Hypothèse structurelle sur 

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

Postulons que

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est une application définie dans ZFC

$${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E:E⟶\mathcal{F}(E)$$

où

$\mathcal{F}(E)$

est l’ensemble des sous‑ensembles finis de

$E$

(ou, plus généralement, d’un ensemble de codes construits à partir de

$E$

). Autrement dit, chaque élément

$x\in E$

a une empreinte mémorielle

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\subseteq E$

de taille finie (hypothèse technique minimale qui garantit bien‑fondation). Cette hypothèse est suffisante pour définir un rang ordinal canonique ; elle peut être affaiblie (ensembles dénombrables, etc.) mais la présentation ci‑dessous adopte la version finie pour la clarté constructive.

2.2 Relation de dépendance et rangs de Von Neumann

Définir la relation binaire

${\prec }_E$

sur

$E$

par :

$$y{\prec }_{E}x\text{si et seulement si}y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\mathrm{.}$$

Sous l’hypothèse

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\subseteq E$

pour tout

$x$

,

${\prec }_E$

est une relation sur

$E$

. On impose la condition :

• (WF) :
  $(E,{\prec }_E)$
  est bien fondé (aucune chaîne infinie décroissante), i.e. il n’existe pas de suite
  $x_0{\succ }_E{x}_1{\succ }_E{x}_2{\succ }_E\cdots$
  .

Lorsque (WF) est satisfaite, on peut définir le rang de Von Neumann

${\rho }_E(x)$

pour chaque

$x\in E$

par induction transfinie :

• ${\rho }_E(x)=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

  .

La définition est bien‑posée parce que

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

est finie (ou, plus généralement, la relation est bien fondée).

2.3 Définition canonique de la profondeur

La profondeur mémorielle de

$0_E$

est l’ordinal

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E):=\sup \{{\rho }_E(x):x\in E\}\mathrm{.}$$

C’est un ordinal bien défini (borne supérieure d’ordinaux) et il mesure la profondeur maximale de dépendance informationnelle dans

$E$

. Si

$E=\mathrm{\varnothing }$

alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=0$

.

Remarque. Cette définition est canonique dès que l’on fixe la règle d’encodage

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

. Différentes conventions d’encodage donnent des profondeurs différentes ; la théorie ghirardinienne exige que

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

soit choisie de façon naturelle (par ex. codage standard des dépendances structurelles de

$E$

). Pour la publication, on précisera la règle canonique (p. ex. représentation de structures algébriques, graphes d’appartenance, etc.).

3. Construction explicite de 

$0_E$

dans ZFC

3.1 Définition constructive

Dans ZFC on construit :

• ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

  par
  ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X):=\mathrm{\varnothing }$
  pour tout
  $X\subseteq E$
  . (C’est la composante opératoire « effaceuse ».)

• Choisir un ensemble mémoire
  $M_E$
  et une injection codante
  $c_E:E\hookrightarrow M_E$
  ; on prend par exemple
  $M_E:=E\times \{0\}\cup \{⟨e,n⟩:e\in E,n\in \mathbb{N}\}$
  et on définit
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  comme un sous‑ensemble fini de
  $E$
  (codé par éléments de
  $M_E$
  ) selon la règle canonique choisie. Concrètement, on peut définir
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  comme l’ensemble fini des « atomes d’information » nécessaires pour reconstruire
  $x$
  (dans un modèle donné).

Poser alors

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E)\mathrm{.}$$

3.2 Vérification des axiomes A1–A7

A1 (Localité). L’expression

$x{0}_E$

est définie par convention si

$x\in E$

(on n’autorise pas l’application de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

à des éléments hors de

$E$

). Ainsi A1 est satisfaite par construction.

A2 (Absorbance opératoire). Pour tout

$x\in E$

et tout

$X\subseteq E$

,

$$x\cdot 0_E:={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)=\mathrm{\varnothing }=0_E,$$

si l’on identifie

$0_E$

à l’état opératoire « vide ». La formulation exacte dépend de la convention d’identification, mais la composante

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

est l’application constante

$\mathrm{\varnothing }$

, donc l’absorbance tient.

A3 (Restitution mémorielle). On définit

$x{0}_E:={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

comme l’empreinte mémorielle ; par construction

$x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. A3 est satisfaite.

A4 (Injectivité locale). On impose que

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

soit injective sur

$E$

. Cette contrainte est réalisable dans ZFC : on peut coder chaque

$x$

par un code unique dans

$M_E$

. Alors

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(y)\Rightarrow x=y$

. A4 est satisfaite.

A5 (Idempotence). Pour tout

$X\subseteq E$

,

$$0_E(0_E(X))={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))=\mathrm{\varnothing }={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)=0_E(X),$$

si l’on interprète

$0_E(X)$

comme l’action opératoire. Si l’on veut la version mémoire‑idempotente (stabilité de l’image mémorielle), on impose que l’application mémoire sur l’image soit fixe :

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E({\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x))={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

pour tout

$x$

(condition réalisable par codage). Ainsi A5 tient.

A6 (Hiérarchie des zéros). Si

$E\subseteq F$

on construit

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

de sorte que la restriction à

$E$

coïncide avec

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

(extension canonique). Alors toute annulation ou mémoire définie sur

$E$

est compatible avec celle sur

$F$

, d’où

$0_E⪯0_F$

.

A7 (Monotonie stricte). Si

$E⊊F$

et si l’extension

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

ajoute au moins un élément de profondeur supérieure, alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

. On peut toujours construire

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

de façon à augmenter la profondeur (par exemple en ajoutant un élément

$z\in F\setminus E$

dont

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F(z)$

dépend transitivement d’une chaîne plus longue). Ainsi A7 est réalisable.

Conclusion. Avec la construction ci‑dessus (Ann constant, Mem injective et bien fondée, extension canonique pour inclusions), les axiomes A1–A7 sont satisfaits dans ZFC.

4. Bijection structurelle entre cardinaux transfins et classes de zerfinis

4.1 Énoncé précis

Soit

$\mathcal{C}$

l’ensemble des paires

$(\kappa ,\alpha )$

où

$\kappa$

est un cardinal (transfini possible) et

$\alpha$

un ordinal (profondeur). Soit

$\mathcal{Z}$

la classe des zerfinis modulo équivalence isomorphique (deux zerfinis

$0_E,0_F$

sont équivalents si

$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

). Alors l’application

$$\mathrm{\Phi }:\mathcal{C}⟶\mathcal{Z},\mathrm{\Phi }(\kappa ,\alpha ):=\text{classe de }{\zeta }_E\text{ telle que }\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\kappa ,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$$

est une bijection.

4.2 Preuve (construction et injectivité/surjectivité)

Surjectivité. Par définition d’une classe de zerfinis, chaque classe contient une paire

$(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

. Donc pour tout zerfini il existe

$(\kappa ,\alpha )$

tel que la classe est

$\mathrm{\Phi }(\kappa ,\alpha )$

.

Injectivité. Si

$\mathrm{\Phi }({\kappa }_1,{\alpha }_1)=\mathrm{\Phi }({\kappa }_2,{\alpha }_2)$

alors les classes coïncident, donc

${\kappa }_1={\kappa }_2$

et

${\alpha }_1={\alpha }_2$

par définition de l’équivalence. Donc

$\mathrm{\Phi }$

est injective.

Construction effective (existence pour chaque paire). Pour toute paire

$(\kappa ,\alpha )$

on construit un ensemble

$E$

de cardinal

$\kappa$

(possible en ZFC) et on définit

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

de façon à obtenir

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$

(par induction transfinie on construit une hiérarchie d’éléments de rangs prescrits). Ainsi chaque paire est réalisée par au moins une classe de zerfini. D’où surjectivité constructive.

Remarque. La bijection est donc naturelle : classes de zerfinis

$\leftrightarrow$

paires (cardinal, ordinal). C’est la formalisation du principe « à chaque degré transfini correspond un degré non‑vie (zerfini) ».

5. Exemples calculés et propriétés arithmétiques (absorption, points fixes)

5.1 Construction canonique d’exemples

• ${\zeta }_{\mathbb{N}}$

  . Prendre
  $E=\mathbb{N}$
  . Construire
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{N}}$
  en codant chaque
  $n$
  par un ensemble fini de prédécesseurs (par ex.
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{0,1,\dots ,n-1\}$
  ). Alors
  $\rho (n)=n$
  et

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{N}})=\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }n=\omega \mathrm{.}$$

Donc

${\zeta }_{\mathbb{N}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$

.

• ${\zeta }_{\mathbb{Z}}$

  . Pour
  $E=\mathbb{Z}$
  on peut coder
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(n)=\{n-1\}$
  pour
  $n\ge 0$
  et
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(n)=\{n+1\}$
  pour
  $n<0$
  . La profondeur maximale est
  $\omega$
  (chaînes dénombrables) ; on obtient
  ${\zeta }_{\mathbb{Z}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
  ou, si l’on choisit une convention différente (par ex. codage cyclique), une profondeur différente. La convention canonique choisie pour la table symétrique doit être précisée.

• ${\zeta }_{\mathbb{R}}$

  . Pour
  $E=\mathbb{R}$
  on choisit
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{R}}$
  de façon à obtenir une profondeur
  $\alpha$
  (par ex.
  $\alpha ={\omega }_1$
  si l’on veut une profondeur non dénombrable). Un choix naturel est de coder des dépendances qui forment une hiérarchie d’ordre type
  ${\omega }_1$
  . Ainsi
  ${\zeta }_{\mathbb{R}}=(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},\alpha )$
  ; la valeur canonique de
  $\alpha$
  dépend de la règle de codage (on peut choisir
  $\alpha =\omega$
  ,
  ${\omega }_1$
  , ou un ordinal plus grand).

5.2 Propriétés d’absorption et points fixes

• Absorption (addition). Par définition
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_F:={\zeta }_{E\cup F}$
  . Si
  $\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }$
  domine
  $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }$
  ou si
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
  domine
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  alors
  ${\zeta }_{E\cup F}={\zeta }_F$
  . Exemple :
  ${\zeta }_{\mathbb{N}}\oplus {\zeta }_{\mathbb{R}}={\zeta }_{\mathbb{R}}$
  (absorption par le continu).

• Produit.
  ${\zeta }_E\otimes {\zeta }_F:={\zeta }_{E\times F}$
  . Les cardinaux et profondeurs se combinent selon les règles ensemblistes (cardinal produit, profondeur = sup des profondeurs si la dépendance se projette sur chaque facteur).

• Exponentiation et points fixes. Construire une tour
  $E_0,E_1,\dots$
  par
  $E_{n+1}=E_n^{E_n}$
  (ensembles de fonctions) et poser
  $E_{\mathrm{\pounds }o}={\bigcup }_{n<\omega }{E}_n$
  ; l’ordinal limite correspondant est un point fixe pour l’itération d’exponentiation. Le zerfini
  ${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$
  est alors absorbant pour les itérations finies : pour tout
  $n<\omega$
  ,
  ${\zeta }_{E_n}$
  est strictement inférieur à
  ${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$
  et
  ${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}^{{\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}}={\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$
  (stabilité au point fixe), miroir exact du rôle de
  ${\epsilon }_0$
  dans la hiérarchie ordinale.

Exemple concret de point fixe. Si l’on construit

$E_{n+1}=E_n^{E_n}$

avec

$E_0=\mathbb{N}$

, la limite ordinal associée est

${\epsilon }_0$

(dans la hiérarchie ordinale classique) et le zerfini

${\zeta }_{E_{{\epsilon }_0}}$

est un point fixe non‑vie : l’exponentiation itérée ne change plus la profondeur.