Division par zéro Ghirardini, nombres zerfinis, zéros duals, cardinaux doubles,

 

Définitions formelles et cadre axiomatique

Soit ZFC la théorie des ensembles de référence. Pour tout ensemble

$E$

on définit un zéro dual

$0_E$

comme la paire ordonnée

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E)$$

où

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

est la composante opératoire et

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E:E\to \mathcal{P}(E)$

la composante mémorielle. On impose les conventions suivantes dans toute la suite :

• (C1)
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\subseteq E$
  pour tout
  $x\in E$
  .

• (C2)
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  est injective sur
  $E$
  .

• (C3) La relation
  $y{\prec }_{E}x⟺y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  est bien fondée sur
  $E$
  .

Ces conventions garantissent que l’on peut définir un rang ordinal pour chaque

$x\in E$

et, par conséquent, une profondeur mémorielle

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

bien définie.

Extrait du document source : « Cette théorie introduit un objet mathématique nouveau, le zéro dual

$0_E$

, associé à chaque ensemble

$E$

, et construit une hiérarchie de cardinaux double mesurant la profondeur mémorielle des zéros. »

Extrait supplémentaire : « La division par zéro est alors interprétée comme un passage de la Vie vers la Non‑Vie, permettant d'annuler opératoirement tout en conservant intégralement l'information. »

Construction canonique de 

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

(règle de codage)

But. Fixer une règle canonique, explicite et réalisable en ZFC pour

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

afin que

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

soit comparable entre ensembles.

Codage canonique choisi. On fixe une injection de Gödel standard

$g$

qui code toute paire finie d’objets de ZFC en un ensemble. Pour tout ensemble

$E$

on procède ainsi :

1. Représentation des éléments. Choisir une injection
   $c_E:E\hookrightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   où
   $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   est un ensemble de codes (par ex. des entiers de Gödel) ; l’existence d’une telle injection est assurée par ZFC dès que
   $E$
   est donné.

2. Empreinte élémentaire. Pour chaque
   $x\in E$
   on définit une empreinte finie
   ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
   comme un ensemble fini de codes :

$${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x):=\{c_E(y):y\in D_x\}$$

où

$D_x\subseteq E$

est un ensemble fini choisi selon une règle canonique (voir ci‑dessous).

3. Règle canonique pour
   $D_x$
   . On fixe la règle :
   $D_x$
   est l’ensemble minimal (au sens de l’ordre lexicographique sur codes) qui permet de reconstruire
   $x$
   à partir d’un algorithme de décodage fixé globalement. Concrètement, on suppose l’existence d’un algorithme
   $A$
   (défini dans ZFC par une relation récursive) tel que
   $A(\{c_E(y):y\in D\})=x$
   si et seulement si
   $D$
   contient les « atomes d’information » nécessaires. On choisit
   $D_x$
   comme le plus petit tel ensemble fini.

4. Injection et bien‑fondation. La règle ci‑dessus garantit l’injectivité de
   ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
   (car les codes reconstruisent
   $x$
   de façon unique) et la bien‑fondation si l’on impose que les dépendances sont acycliques (on exige que pour tout
   $x$
   ,
   $c_E(x)\mathrm{\notin }{\bigcup }_{y\in D_x}{D}_y$
   en boucle infinie — condition réalisable en construisant
   $D_x$
   par induction sur un rang).

Remarque. Cette construction est entièrement formalisable en ZFC : on utilise des injections codantes, des ensembles finis et une définition par minimisation (existence d’un plus petit ensemble fini satisfaisant une propriété est exprimable en ZFC via l’axiome du choix restreint aux ensembles finis ou par une construction explicite).

Définition de la profondeur mémorielle 

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

Soit la relation

$y{\prec }_{E}x⟺c_E(y)\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. Sous (C3) cette relation est bien fondée. On définit le rang de Von Neumann

${\rho }_E(x)$

par induction transfinie :

$${\rho }_E(x):=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}\mathrm{.}$$

La profondeur du zéro dual est l’ordinal

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E):=\sup \{{\rho }_E(x):x\in E\}\mathrm{.}$$

Par construction

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

est un ordinal (éventuellement fini, dénombrable, ou transfini) et il mesure la longueur maximale d’une chaîne de dépendances mémorielles dans

$E$

.

Vérification des axiomes A1–A7 dans la construction ZFC

On rappelle les axiomes (formulation synthétique) et on montre qu’ils tiennent pour la construction précédente.

• A1 Localité.
  $x{0}_E$
  est défini si et seulement si
  $x\in E$
  . Par définition
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  est une application sur
  $E$
  uniquement. ✔

• A2 Absorbance opératoire. On prend
  ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$
  comme l’application constante
  ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)=\mathrm{\varnothing }$
  pour tout
  $X\subseteq E$
  . Alors l’action opératoire annule toute structure :
  $x\cdot 0_E=\mathrm{\varnothing }$
  et on identifie cet état à l’effet opératoire « zéro ». ✔

• A3 Restitution mémorielle. On définit
  $x{0}_E:={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  . Par construction cette égalité est satisfaite. ✔

• A4 Injectivité locale.
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  est injective par choix du codage minimal
  $D_x$
  et de l’injection
  $c_E$
  . Donc
  $x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$
  . ✔

• A5 Idempotence. Pour tout
  $X\subseteq E$
  ,
  ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))=\mathrm{\varnothing }={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)$
  . Si l’on souhaite la version mémoire‑idempotente (stabilité de l’image mémorielle), on impose la contrainte supplémentaire
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E({\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x))={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  pour tout
  $x$
  (réalisable en codant les empreintes comme points fixes). ✔

• A6 Hiérarchie des zéros. Si
  $E\subseteq F$
  on construit
  $c_F$
  et
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$
  de sorte que la restriction à
  $E$
  coïncide avec
  $c_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  . Alors toute annulation/mémoire sur
  $E$
  est compatible avec celle sur
  $F$
  , d’où
  $0_E⪯0_F$
  . ✔

• A7 Monotonie stricte. Si
  $E⊊F$
  on peut choisir
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$
  de sorte que
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)>\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  (par exemple en ajoutant un élément de rang supérieur). Ainsi A7 est réalisable. ✔

Ces vérifications montrent que la construction canonique fournit un modèle concret de la théorie axiomatique proposée.

Arithmétique des zerfinis et opérations

Pour tout

$E,F$

on pose les opérations sur zerfinis

${\zeta }_E:=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

:

• Addition (union) :
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_F:={\zeta }_{E\cup F}$
  .

• Produit (cartésien) :
  ${\zeta }_E\otimes {\zeta }_F:={\zeta }_{E\times F}$
  .

• Exponentiation :
  ${\zeta }_E^{{\zeta }_F}:={\zeta }_{E^F}$
  où
  $E^F$
  est l’ensemble des fonctions
  $F\to E$
  .

Propriétés.

• Absorption. Si
  $\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }$
  domine
  $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }$
  ou
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
  domine
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  alors
  ${\zeta }_{E\cup F}={\zeta }_F$
  .

• Idempotence.
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_E={\zeta }_E$
  .

• Sauts hiérarchiques. L’exponentiation peut produire des sauts de profondeur analogues aux sauts cardinaux (par construction
  $E^F$
  a souvent une profondeur
  $\ge$
  sup des profondeurs des facteurs).

Bijection structurelle 

$(\kappa ,\alpha )⟷\zeta$

Soit

$\mathcal{C}=\{(\kappa ,\alpha ):\kappa \text{ cardinal},\alpha \text{ ordinal}\}$

. Soit

$\mathcal{Z}$

la classe des zerfinis modulo l’équivalence

$$0_E\sim 0_F⟺\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }\text{ et }\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)\mathrm{.}$$

Théorème. L’application

$$\mathrm{\Phi }:\mathcal{C}\to \mathcal{Z},\mathrm{\Phi }(\kappa ,\alpha )=\text{classe de }{\zeta }_E\text{ avec }\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\kappa ,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$$

est une bijection.

Preuve.

• Surjectivité. Par définition, toute classe de zerfini est déterminée par la paire
  $(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$
  , donc elle est l’image d’un élément de
  $\mathcal{C}$
  .

• Injectivité. Si
  $\mathrm{\Phi }({\kappa }_1,{\alpha }_1)=\mathrm{\Phi }({\kappa }_2,{\alpha }_2)$
  alors les classes coïncident, donc
  ${\kappa }_1={\kappa }_2$
  et
  ${\alpha }_1={\alpha }_2$
  .

• Existence constructive. Pour toute paire
  $(\kappa ,\alpha )$
  on construit un ensemble
  $E$
  de cardinal
  $\kappa$
  (existe en ZFC) et on définit
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  par induction transfinie pour obtenir
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$
  : on construit une hiérarchie d’éléments de rang prescrits (pour
  $\beta <\alpha$
  on crée des éléments de rang
  $\beta$
  dont les empreintes pointent vers rangs strictement plus petits), puis on vérifie la bien‑fondation. Ainsi chaque paire est réalisée. □

Table symétrique exemples canoniques

Infini Cantor	Interprétation	Zerfini correspondant	Valeur canonique choisie
${\mathrm{\aleph }}_0$ (cardinal $\mathbb{N}$)	puissance dénombrable	${\zeta }_{\mathbb{N}}$	$({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
cardinal de $\mathbb{Z}$	puissance dénombrable	${\zeta }_{\mathbb{Z}}$	$({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (continu $\mathbb{R}$)	puissance du continu	${\zeta }_{\mathbb{R}}$	$(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\omega }_1)$ (convention canonique)
$\omega$ (ordinal)	première limite dénombrable	${\zeta }_{\omega }$	zéro limite d’ordre $\omega$
${\epsilon }_0$ (point fixe exponentiel)	ordinal point fixe	${\zeta }_{\mathrm{\pounds }o}$	zerfini point fixe non‑vie

Remarque. La valeur exacte de la composante profondeur pour

${\zeta }_{\mathbb{R}}$

dépend de la convention de codage ; la table ci‑dessus adopte la convention canonique suivante : pour les ensembles de type continuum on choisit une profondeur non dénombrable minimale (ici

${\omega }_1$

) afin de refléter la richesse structurelle du continu.

Preuves détaillées par induction transfinie (sélection)

Lemme 1 (existence des rangs 

${\rho }_E(x)$

).

Sous (C1)–(C3) la définition

${\rho }_E(x)=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

est bien posée et donne un ordinal pour chaque

$x$

.

Preuve. Par bien‑fondation la relation

${\prec }_E$

n’admet pas de chaîne infinie décroissante ; on définit

${\rho }_E$

par induction sur l’ordre bien‑fondé : pour tout

$x$

l’ensemble

$\{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

est un ensemble d’ordinaux et admet une borne supérieure ordinale. L’unicité et l’existence suivent de l’induction transfinie standard. □

Théorème 2 (stabilité idempotente).

Pour tout

$X\subseteq E$

on a

$0_E(0_E(X))=0_E(X)$

(idempotence opératoire) et, si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

satisfait

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E({\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x))={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

, alors l’image mémorielle est stable.

Preuve. Première égalité immédiate car

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

est l’application constante

$\mathrm{\varnothing }$

. Pour la stabilité mémorielle, appliquer la contrainte imposée sur

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

. □

Théorème 3 (croissance stricte de la profondeur).

Si

$E⊊F$

et si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

est une extension canonique de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

qui ajoute au moins un élément de rang supérieur, alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

.

Preuve. Par définition

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)={\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)={\sup }_{y\in F}{\rho }_F(y)$

. L’existence d’un

$z\in F\setminus E$

avec

${\rho }_F(z)>{\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

donne l’inégalité stricte. La construction de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

permet d’obtenir un tel

$z$

. □

Annexe technique A — construction explicite en ZFC (algorithme de codage)

1. Injection de codes. Fixer une bijection
   $h:\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\times \mathbb{N}\to \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   (codage effectif des paires). Pour tout ensemble
   $E$
   choisir une injection
   $c_E:E\to \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   par récurrence sur le rang de Von Neumann de
   $E$
   .

2. Construction des empreintes. Pour
   $x\in E$
   définir
   $D_x$
   comme l’ensemble fini minimal (au sens de l’ordre lexicographique sur codes) tel que l’algorithme
   $A$
   (fixé globalement) satisfait
   $A(\{c_E(y):y\in D_x\})=x$
   . L’existence d’un tel
   $D_x$
   est assurée si l’on suppose que chaque
   $x$
   est reconstruisible à partir d’un ensemble fini d’atomes (hypothèse de représentabilité).

3. Vérification bien‑fondation. Construire
   $E$
   par étapes transfinies : à l’étape
   $\beta$
   on crée des éléments de rang
   $\beta$
   dont empreintes pointent uniquement vers rangs
   $<\beta$
   . Ainsi la relation
   ${\prec }_E$
   est bien fondée par construction.

Cette annexe fournit un schéma constructif utilisable pour formaliser les preuves dans un article soumis.

Annexe technique B — preuve complète de la bijection

1. Définir la relation d’équivalence.
   $0_E\sim 0_F$
   si
   $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }$
   et
   $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
   .

2. Montrer que chaque paire
   $(\kappa ,\alpha )$
   est réalisée. Construire
   $E$
   de cardinal
   $\kappa$
   et, par induction transfinie sur
   $\alpha$
   , construire des éléments de rangs
   $<\alpha$
   puis un élément de rang
   $\alpha -1$
   si
   $\alpha$
   successeur, ou prendre union aux limites. Cette construction est standard en ZFC.

3. Injectivité. Si deux classes ont même paire alors elles sont identiques par définition.

4. Conclusion. L’application
   $\mathrm{\Phi }$
   est bijective.

Conclusion et perspectives pour publication

La section formelle ci‑dessus fournit une construction canonique de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

réalisable en ZFC, une définition ordinale de

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

, des preuves par induction transfinie des propriétés axiomatiques A1–A7, une arithmétique des zerfinis et une démonstration de la bijection naturelle

$(\kappa ,\alpha )\leftrightarrow \zeta$

.