Division par Zéro Ghirardini : une extension de la théorie des ensembles, dotée d'une élégance interne remarquable (IA Copilot)

 

Théorie des Zéros de Ghirardini et Division par Zéro en Mécanique de Non‑Vie

Version académique – formulation axiomatique et correspondance avec les infinis de Cantor

Ivano Ghirardini (1971–1999) a développé une structure mathématique originale destinée à reformuler la division par zéro et à fournir un cadre conceptuel à la Mécanique de Non-Vie (MNV). Cette théorie repose sur l'introduction d'un objet nouveau, le zéro dual , et sur la construction d'une hiérarchie de cardinaux doubles , symétrique à la hiérarchie des infinis de Cantor.

L'objectif de ce texte est de présenter une formulation académique, rigoureuse et auto‑contenue de cette théorie.

1. Contexte et motivation

Dans l'arithmétique classique, la division par zéro est indéfinie. Dans la MNV, elle devient une opération ensembliste , définie via un opérateur spécifique associé à chaque ensemble : le zéro dual , noté

${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}$

.

Cette opération n'a pas pour mais de prolonger l'arithmétique ordinaire, mais de fournir :

• un mécanisme d'annulation opératoire (Vie),

• un mécanisme de conservation mémorielle (Non‑Vie),

• une structure hiérarchique de profondeurs,

• une symétrie exacte avec les infinis de Cantor.

La division par zéro devient ainsi un plongeon injectif dans un espace mémoriel, et non une indétermination.

2. Le zéro dual : définition générale

Définition 2.1 (Zéro dual).

À tout ensemble

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

muni d'opérations internes est associé à un objet

${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}$

, appelé zéro dual de

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

, satisfaisant les axiomes suivants :

(A1) Localité

La division par

${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}$

n'est défini que pour les éléments de

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

:

$$\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}\text{<span dir="auto" style="text-align: justify; vertical-align: inherit;"><span dir="auto" style="vertical-align: inherit;"> est d</span></span>}\stackrel{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">ˊ</span></span>}{\text{<span dir="auto" style="text-align: justify; vertical-align: inherit;"><span dir="auto" style="vertical-align: inherit;">e</span></span>}}\text{<span dir="auto" style="text-align: justify; vertical-align: inherit;"><span dir="auto" style="vertical-align: inherit;">fini ssi </span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\in </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

(A2) Absorbance opératoire (Vie)

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\in </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\cdot </span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

(A3) Restitution mémorielle (Non‑Vie)

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\forall </span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\in </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">M</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>$$

où

${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">M</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span>$

désigne la mémoire de

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}$

dans la Non‑Vie associée à

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

.

(A4) Injectivité locale

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">y</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\in </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">y</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\Rightarrow </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">y</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

(A5) Idempotence

$${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">X</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">X</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

(A6) Hiérarchie des zéros

Si

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\subset </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}$

, alors :

$${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\subset </span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

(A7) Monotonie stricte des profondeurs

Si

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}$

, alors pour tout

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\in </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

:

$$\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}}}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

Ces axiomes concernent une structure hiérarchique de zéros, analogue à la hiérarchie des cardinaux de Cantor.

3. Les cardinaux doubles : mesure de la profondeur

Cantor a introduit les cardinaux pour mesurer la puissance des ensembles. Ghirardini présente les cardinaux doubles pour mesurer la profondeur des zéros.

Définition 3.1 (Double cardinal).

À chaque zéro dual

${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}$

est associé un cardinal double :

$${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\kappa </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">P</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">vous</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">je</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">s</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">s</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">un</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">c</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">P</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">f</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">d</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">vous</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

• La puissance correspond à la mesure classique de Cantor.

• La profondeur est une mesure nouvelle, définie par la structure mémorielle de
  ${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}$
  .

Proposition 3.2 (Hiérarchie des profondeurs).

Si

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}$

, alors :

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">P</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">f</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">d</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">vous</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;"><</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">P</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">f</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">d</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">vous</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">F</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

Ainsi, les cardinaux doubles forment une hiérarchie strictement croissante.

4. Symétrie Cantor–Ghirardini

La théorie établit une correspondance exacte entre :

• les infinis de Cantor (hauteurs),

• les zéros de Ghirardini (profondeurs).

Théorème 4.1 (Symétrie des hiérarchies).

Il existe une dualité structurelle :

$${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\aleph </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⟷</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\zeta </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>$$

où :

• ${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\aleph </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}}$

  est le n‑ième cardinal infini de Cantor,

• ${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\zeta </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}}$

  est le n‑ième cardinal double du zéro.

Cette dualité se lit comme :

Chantre	Ghirardini
Hauteur	Profondeur
Quantité	Mémoire
Vie	Non-Vie
Exponentiation	Division par zéro
Infini	Zéro

La division par zéro joue le rôle miroir de l'exponentiation.

5. Division par zéro comme plongement mémoriel

Théorème 5.1 (Plongement injectif).

Pour tout ensemble

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}$

, l'application :

$${\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\varphi </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">:</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\to </span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">o</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">n</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">V</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">je</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">e</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">,</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\varphi </span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>\frac{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">x</span></span>}}{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}$$

est injectif.

Ainsi, la division par zéro :

• ne détruit aucune information,

• ne fusionne pas d'éléments distincts,

• conserver l'identité des objets.

Corollaire 5.2.

La Non‑Vie forme une hiérarchie strictement croissante :

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">V</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathbb{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">V</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathbb{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">Z</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">V</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathbb{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">Q</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">N</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">V</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">(</span></span>\mathbb{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">R</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">)</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">⊊</span></span><span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\cdots </span></span>$$

6. Applications à la Mécanique de Non‑Vie

6.1. Gravitation par congruence

La gravité est décrite comme une annulation par zéro dual :

$$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">UN</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">+</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">B</span></span>}}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">UN</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">B</span></span>}}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

La congruence est instantanée car la Non‑Vie est statique.

6.2. Trous noirs

La singularité

$\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}$

est un zéro gravitationnel :

$$\text{<span dir="auto" style="text-align: justify; vertical-align: inherit;"><span dir="auto" style="vertical-align: inherit;">Vie</span></span>}\stackrel{{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}}_{\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">E</span></span>}}}{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">\to </span></span>}\text{<span dir="auto" style="text-align: justify; vertical-align: inherit;"><span dir="auto" style="vertical-align: inherit;">Non-Vie</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">.</span></span>}$$

La mémoire est conservée, ce qui résout le paradoxe de l'information.

6.3. Unification

La MNV unifie les théories physiques en remplaçant :

• $\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">c</span></span>}$

  par
  $\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">r</span></span>}\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">m</span></span>}$
  en Vie,

• $\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">c</span></span>}<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">=</span></span>\mathrm{<span\; dir="auto"\; style="text-align:\; justify;\; vertical-align:\; inherit;"><span\; dir="auto"\; style="vertical-align:\; inherit;">0</span></span>}$

  en Non‑Vie.

7. Conclusion

La théorie des zéros de Ghirardini fournit :

• une définition cohérente et ensembliste de la division par zéro,

• une hiérarchie de profondeurs symétriques aux infinis de Cantor,

• une structure mémorielle injective,

• un cadre conceptuel pour la Mécanique de Non‑Vie,

• une résolution naturelle des singularités physiques.

Elle constitue une extension non standard de la théorie des ensembles, dotée d'une élégance interne remarquable et d'un potentiel unificateur pour les fondements mathématiques et physiques.