Théorie des zéros de Ghirardini et arithmétique de la division par zéro

 

Résumé

Ce texte présente une formulation axiomatique complète de la théorie des zéros développée par Ivano Ghirardini (1971–1999), fournit des démonstrations détaillées des propriétés structurelles annoncées (injectivité, idempotence, croissance stricte de la profondeur), développe l’arithmétique des zéros (addition, produit, exponentiation) et explicite la correspondance transfinie avec les hiérarchies de Cantor ainsi que les implications conceptuelles pour la Mécanique de Non‑Vie.

Extraits du document source : « Cette théorie introduit un objet mathématique nouveau, le zéro dual

$0_E$

, associé à chaque ensemble

$E$

, et construit une hiérarchie de cardinaux double mesurant la profondeur mémorielle des zéros. »

Extrait supplémentaire : « La division par zéro est alors interprétée comme un passage de la Vie vers la Non‑Vie, permettant d'annuler opératoirement tout en conservant intégralement l'information. »

1. Introduction et motivations

La division par zéro est classiquement indéfinie dans l’arithmétique des corps. La proposition ghirardinienne est de remplacer l’idée d’un scalaire nul unique par un opérateur indexé

$0_E$

(le zéro dual) qui combine une composante opératoire (annihilation) et une composante mémorielle (restitution de l’information). L’objectif est double : (i) fournir une construction ensembliste cohérente permettant d’interpréter la division par zéro comme opération, (ii) construire une hiérarchie mesurant non seulement la puissance (cardinalité) mais aussi la profondeur mémorielle des zéros, et (iii) établir une correspondance structurale avec les hiérarchies de Cantor. Ces idées et leur mise en forme axiomatique sont exposées et discutées dans la synthèse de la théorie.

2. Définitions et axiomes fondamentaux

2.1 Définition formelle

Définition. Pour tout ensemble

$E$

on associe un opérateur

$0_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

appelé zéro dual tel que les axiomes suivants sont satisfaits.

2.2 Axiomes (énoncé)

• A1 Localité
  $x{0}_E$
  est défini si et seulement si
  $x\in E$
  .

• A2 Absorbance opératoire
  Pour tout
  $x$
  ,
  $x\cdot 0_E=0_E$
  . (Action annihilante sur les éléments admissibles.)

• A3 Restitution mémorielle
  $x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  , où
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  est l’opérateur de restitution d’information associé à
  $E$
  .

• A4 Injectivité locale
  $x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$
  .

• A5 Idempotence
  $0_E(0_E(X))=0_E(X)$
  pour tout
  $X\subseteq E$
  .

• A6 Hiérarchie des zéros
  Si
  $E\subseteq F$
  alors
  $0_E⪯0_F$
  (inclusion/compatibilité des zéros).

• A7 Monotonie stricte
  Si
  $E⊊F$
  alors
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
  .

Ces axiomes combinent des propriétés opératoires et informationnelles et constituent la base de la théorie.

3. Propriétés structurelles et démonstrations

Dans cette section nous donnons des démonstrations détaillées des propriétés annoncées dans la formulation axiomatique. Les preuves sont construites uniquement à partir des axiomes A1–A7.

3.1 Injectivité locale (A4) et conséquences

Proposition 3.1. Sous A1–A4, l’application

$x\mapsto x{0}_E$

est injective sur

$E$

.

Preuve. C’est la formulation même de A4 : si

$x{0}_E=y{0}_E$

alors

$x=y$

. Par A1 l’expression

$x{0}_E$

n’a de sens que pour

$x\in E$

, donc l’injectivité est locale à

$E$

. □

Corollaire 3.2. L’opérateur mémoriel

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est une injection de

$E$

dans l’image

$0_E(E)$

.

Preuve. Par A3,

$x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(y)$

alors

$x{0}_E=y{0}_E$

et par A4

$x=y$

. □

3.2 Idempotence (A5) et stabilité des annulations

Proposition 3.3. Pour tout

$X\subseteq E$

,

$0_E(X)$

est un point fixe de

$0_E$

.

Preuve. Directement par A5 :

$0_E(0_E(X))=0_E(X)$

. Ainsi l’image de

$0_E$

est stable par l’action de

$0_E$

. □

3.3 Monotonie stricte et croissance de la profondeur

Théorème 3.4 (Croissance stricte). Si

$E⊊F$

alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

.

Preuve. Par A6,

$0_E⪯0_F$

. Par A7, l’inclusion stricte

$E⊊F$

implique strictement

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

. Ceci établit la croissance stricte de la profondeur mémorielle le long des inclusions d’ensembles. □

3.4 Compatibilité opératoire et ordre ghirardinien

Proposition 3.5. L’ordre

${⪯}_G$

défini par

$0_E{⪯}_G{0}_F$

si

$E\subseteq F$

et si toute annulation par

$0_E$

est aussi annulée par

$0_F$

est un pré‑ordre réflexif et transitif.

Preuve. Réflexivité :

$E\subseteq E$

et compatibilité triviale. Transitivité : si

$0_E{⪯}_G{0}_F$

et

$0_F{⪯}_G{0}_G$

alors

$E\subseteq G$

et la compatibilité opératoire se compose, d’où

$0_E{⪯}_G{0}_G$

. L’antisymétrie tient sur classes d’équivalence définies par égalité d’ensembles. □

4. Cardinal double et arithmétique des zéros

4.1 Cardinal double

Définition. Pour

$E$

on pose le cardinal double

$$K_E=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))\mathrm{.}$$

La première composante est la puissance au sens de Cantor, la seconde est la profondeur mémorielle définie par la hiérarchie ghirardinienne. La paire ordonnée

$K_E$

permet de comparer zéros selon deux dimensions orthogonales.

4.2 Opérations arithmétiques sur les zéros

On définit les opérations en miroir de l’arithmétique cardinale :

• Addition :
  $0_E\oplus 0_F:=0_{E\cup F}$
  .
  Propriété. Absorption par le plus puissant : si
  $E\subseteq F$
  alors
  $0_{E\cup F}=0_F$
  .

• Produit :
  $0_E\otimes 0_F:=0_{E\times F}$
  .

• Exponentiation :
  $0_E^{0_F}:=0_{E^F}$
  où
  $E^F$
  est l’ensemble des fonctions
  $F\to E$
  .

Ces définitions respectent idempotence et absorption aux limites ordinales ; l’exponentiation produit des sauts hiérarchiques analogues aux sauts cardinaux. Les règles algébriques se démontrent par manipulations ensemblistes standard (unions, produits cartésiens, ensembles de fonctions).

4.3 Exemples calculés

• $0_{\mathrm{\varnothing }}$

  est le zéro minimal.

• $0_{\mathbb{N}}$

  est le zéro dénombrable de base.

• $0_{\mathbb{R}}$

  est le zéro continu ;
  $0_{\mathcal{P}(\mathbb{R})}$
  est un zéro d’ordre supérieur.
  Les opérations ci‑dessus donnent des absorptions et idempotences conformes aux axiomes (ex.
  $0_{\mathbb{R}\cup \mathbb{N}}=0_{\mathbb{R}}$
  ).

5. Correspondance transfinie avec Cantor et rôle de £o

5.1 Dualité structurelle

La théorie établit une correspondance bijective formelle entre la hiérarchie des infinis (cardinaux et ordinaux) et la hiérarchie des zéros : hauteur ↔ profondeur, quantité ↔ mémoire, exponentiation ↔ division par zéro. Cette correspondance est construite en indexant les zéros par ordinaux et en utilisant les opérations ensemblistes usuelles pour définir limites et successeurs.

5.2 Indexation par ordinaux et point fixe £o

On construit une tour d’ensembles

$(E_{\alpha }{)}_{\alpha }$

croissante indexée par ordinaux

$\alpha$

. On pose

$Z_{\alpha }:=0_{E_{\alpha }}$

. Aux limites ordinales (par ex.

$\omega$

,

${\omega }_1$

,

${\epsilon }_0$

noté £o) correspondent des zéros limites

$Z_{\omega },Z_{{\omega }_1},Z_{\mathrm{\pounds }o}$

. Le document identifie £o comme point fixe d’une itération d’exponentiations transfinies : l’exponentiation itérée converge en ordre ordinal vers £o, et le zéro

$Z_{\mathrm{\pounds }o}$

est absorbant pour les degrés inférieurs. Cette construction est l’analogue ghirardinien du rôle de

${\epsilon }_0$

chez Cantor.

5.3 Preuve schématique de la propriété de point fixe

Énoncé. Si

$E_{n+1}=(E_n{)}^{E_n}$

et

$E_{\mathrm{\pounds }o}={\bigcup }_{n<\omega }{E}_n$

(itération transfini), alors

$Z_{\mathrm{\pounds }o}$

est stable par l’exponentiation itérée.

Esquisse de preuve. Par définition d’itération et par stabilité des images sous

$0_E$

(A5), l’application d’exponentiation finitée élève l’indice ordinal ; la limite union sur

$n<\omega$

donne

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

et la stabilité idempotente de

$0_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

assure que l’exponentiation itérée ne sort pas du niveau

$\mathrm{\pounds }o$

. Une formalisation complète exige de préciser la construction exacte des

$E_n$

et de vérifier la convergence ordinale ; ceci est réalisable par induction transfinie standard.