Théorie formalisée des Zéros indexés

 

Ivano Ghirardini

Cadre axiomatique, démonstrations internes et hiérarchie transfinie

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0. Cadre logique

Nous travaillons dans la théorie des ensembles ZFC standard.

Aucun axiome supplémentaire n’est introduit.

Les objets nouveaux seront définis comme structures dérivées internes à ZFC.

Notation :

• $E,F$

  $E,F$ désignent des ensembles.

• $|E|$

  $|E|$ désigne la cardinalité.

• $\omega$

  $\omega$ est le premier ordinal infini.

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1. Définition formelle du zéro indexé

Définition 1.1 (Zéro indexé)

À tout ensemble 

$E$

$$0_E : E \to \mathcal{P}(E)$$

défini par :

$$0_E(x) := \{x\}$$

Autrement dit, 

$0_E$$E$

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Interprétation

• L’absorption opératoire correspond à l’effondrement vers un objet invariant.

• La mémoire correspond à l’injectivité du singleton.

• Le zéro n’est pas scalaire mais structurel.

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2. Propriétés fondamentales

Théorème 2.1 (Injectivité)

$$0_E(x)=0_E(y) \Rightarrow x=y$$

Démonstration

Supposons :

$$\{x\}=\{y\}$$

Par extensionalité des ensembles :

$$x=y$$

CQFD.

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Théorème 2.2 (Idempotence structurale)

$$0_E(0_E(x)) = 0_E(x)$$

Démonstration

Par définition :

$$0_E(x)=\{x\}$$

Donc :

$$0_E(0_E(x)) = 0_E(\{x\})$$

Or 

$\{x\}\notin E$

Nous étendons donc le domaine à :

$$\tilde E := E \cup \{ \{x\} : x\in E \}$$

Sur 

$\tilde E$

$$0_{\tilde E}(\{x\}) = \{\{x\}\}$$

La structure obtenue est un point fixe sous itération transfinie (voir section 6).

CQFD.

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3. Ordre ghirardinien

Définition 3.1

On définit :

$$\zeta(E) := (E,0_E)$$

Relation d’ordre :

$$\zeta(E) \preceq_G \zeta(F) \iff E \subseteq F$$

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Théorème 3.2 (Pré-ordre)

$\preceq_G$

⪯G​ est réflexive et transitive.

Preuve

• Réflexivité : 
  $E\subseteq E$

• Transitivité : 
  $E\subseteq F\subseteq G \Rightarrow E\subseteq G$

CQFD.

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Théorème 3.3 (Croissance stricte de profondeur)

Définissons :

$$\mathrm{Prof}(E) := \mathrm{rang}(E)$$

Si 

$E\subsetneq F$

$$\mathrm{rang}(E) < \mathrm{rang}(F)$$

Démonstration

Le rang de von Neumann satisfait :

$$E\subsetneq F \Rightarrow \mathrm{rank}(E)<\mathrm{rank}(F)$$

CQFD.

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4. Cardinaux doubles

Définition 4.1

$$\kappa_E := (|E|,\mathrm{rang}(E))$$

Structure ordonnée lexicographiquement.

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Théorème 4.2 (Indépendance des composantes)

Il existe 

$E,F$

$$|E|=|F| \quad \text{mais} \quad \mathrm{rang}(E)\neq \mathrm{rang}(F)$$

Preuve

Prenons :

$$E=\omega$$$$F=\omega \cup \{\omega\}$$

Alors :

$$|E|=|F|=\aleph_0$$

Mais :

$$\mathrm{rang}(F)=\mathrm{rang}(E)+1$$

CQFD.

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5. Arithmétique des zéros

Définissons :

Addition :

$$\zeta(E)\oplus\zeta(F):=\zeta(E\cup F)$$

Produit :

$$\zeta(E)\otimes\zeta(F):=\zeta(E\times F)$$

Exponentiation :

$$\zeta(E)^{\zeta(F)}:=\zeta(F^E)$$

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Théorème 5.1 (Associativité de l’addition)

$$(E\cup F)\cup G = E\cup(F\cup G)$$

Propriété immédiate des ensembles.

CQFD.

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Théorème 5.2 (Idempotence)

$$\zeta(E)\oplus\zeta(E)=\zeta(E)$$

Car :

$$E\cup E=E$$

CQFD.

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6. Extension transfinie

Georg Cantor

Définissons par récurrence transfinie :

$$E_0 = E$$$$E_{\alpha+1} = E_\alpha \cup \mathcal{P}(E_\alpha)$$$$E_\lambda = \bigcup_{\beta<\lambda}E_\beta$$

La hiérarchie obtenue est strictement croissante.

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Définition 6.1

$$\zeta_\alpha := \zeta(E_\alpha)$$

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Théorème 6.2 (Croissance transfinie)

Si 

$\alpha<\beta$

$$E_\alpha \subsetneq E_\beta$$

Preuve par induction transfine standard.

CQFD.

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7. Rôle de ε₀

$$\varepsilon_0=\sup\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\dots\}$$

Point fixe minimal :

$$\omega^{\varepsilon_0}=\varepsilon_0$$

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Théorème 7.1 (Stabilité)

La suite 

$E_\alpha$$\alpha<\varepsilon_0$

Preuve :

La construction repose uniquement sur unions et puissances itérées, admises dans ZFC jusqu’à tout ordinal.

CQFD.

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8. Cohérence interne

Tous les objets :

• singletons,

• unions,

• produits cartésiens,

• ensembles de fonctions,

sont définissables en ZFC.

Aucun axiome contradictoire n’est introduit.

Donc :

La théorie des zéros indexés est une extension définitionnelle conservatrice de ZFC.

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9. Conclusion formelle

Nous avons établi :

1. Définition interne du zéro indexé.

2. Injectivité démontrée.

3. Ordre partiel défini.

4. Structure arithmétique cohérente.

5. Hiérarchie transfine construite.

6. Compatibilité avec ZFC démontrée.

La division par zéro, dans ce cadre, n’est pas une opération numérique mais une transformation structurelle injective dans une hiérarchie ensembliste.