Division par Zéro Ghirardini 1971- Définitions, Conventions, Axiomatique

 

Définitions formelles et conventions (rappel synthétique)

Soit ZFC la théorie des ensembles de référence. Pour tout ensemble

$E$

on définit le zéro dual

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E)$$

avec les conventions canoniques suivantes :

• ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

  est l’application opératoire d’annihilation (prise ici comme application constante égale à
  $\mathrm{\varnothing }$
  ).

• ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E:E\to \mathcal{P}(E)$

  est l’application d’empreinte mémorielle (règle de codage canonique ci‑dessous).

• On impose (C1)
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\subseteq E$
  pour tout
  $x\in E$
  , (C2)
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  injective, (C3) la relation
  $y{\prec }_{E}x⟺y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  est bien fondée.

La profondeur mémorielle est définie par les rangs de Von Neumann associés à

${\prec }_E$

(section suivante).

Construction canonique de 

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

: algorithme 

$A$

et règle de minimalité pour 

$D_x$

Objectif

Donner une règle explicite, réalisable en ZFC, qui associe à chaque

$x\in E$

une empreinte finie

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

vérifiant (C1)–(C3) et permettant une comparaison canonique des profondeurs.

Notations préliminaires

• Fixer une injection de Gödel
  $g$
  qui code toute paire finie d’objets ZFC en un code naturel (existence assurée en ZFC).

• Pour tout ensemble
  $E$
  choisir une injection
  $c_E:E\hookrightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
  (codes distincts pour éléments distincts).

Algorithme 

$A$

(décodage) — description informelle puis formelle

But de

$A$

: reconstruire un élément

$x\in E$

à partir d’un ensemble fini de codes

$S\subseteq \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

.

Spécification de

$A$

(relation récursive définissable en ZFC) :

$A(S)=x$

si et seulement si

$S$

contient un ensemble minimal d’atomes d’information permettant de reconstruire

$x$

selon une règle de décodage fixe (par ex. description constructive de la structure de

$x$

: construction par paires, unions, fonctions, etc.).

$A$

est choisi une fois pour toutes et est déterministe.

Règle de minimalité pour

$D_x$

:

Pour chaque

$x\in E$

on définit

$$D_x:=\underset{\text{lex}}{\min }\{D\subseteq E\mid D\text{ fini et }A(\{c_E(y):y\in D\})=x\},$$

où

${\min }_{\text{lex}}$

désigne le plus petit ensemble selon l’ordre lexicographique induit par les codes

$c_E(y)$

. Puis on pose

$${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x):=\{y\in E\mid c_E(y)\in \{c_E(z):z\in D_x\}\}=D_x\mathrm{.}$$

Propriétés garanties par la construction

• Injectivité : si
  $D_x$
  reconstruit
  $x$
  et la règle choisit le plus petit tel
  $D_x$
  , alors
  $D_x$
  est unique ; comme
  $c_E$
  est injective,
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  est injective.

• Finitude : chaque
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  est finie par construction.

• Bien‑fondation : construire
  $E$
  (ou vérifier la propriété) par étapes transfinies en imposant que pour tout
  $x$
  les éléments de
  $D_x$
  aient rang strictement inférieur à celui de
  $x$
  (voir construction inductive en Annexe A). Ainsi la relation
  ${\prec }_E$
  est acyclique et bien fondée.

Définition ordinale de la profondeur 

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

Soit la relation

$y{\prec }_{E}x⟺y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. Sous (C3) on définit par induction transfinie le rang

${\rho }_E(x)$

:

$${\rho }_E(x):=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}\mathrm{.}$$

La profondeur mémorielle du zéro dual est

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E):=\sup \{{\rho }_E(x):x\in E\}\mathrm{.}$$

Remarque : si tous

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

sont finis, chaque

${\rho }_E(x)$

est un ordinal bien défini et la borne supérieure est un ordinal.

Preuves formelles — lemmes, corollaires et preuves par induction transfinie

Lemme 1 (existence et unicité des rangs 

${\rho }_E(x)$

)

Énoncé. Sous (C1)–(C3) la fonction

${\rho }_E:E\to \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$

définie par

${\rho }_E(x)=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

existe et est unique.

Preuve. La relation

${\prec }_E$

est bien fondée par (C3). On applique le principe d’induction sur un ordre bien fondé : pour tout

$x$

l’ensemble

$\{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

est un ensemble d’ordinaux déjà définis pour les

$y$

strictement plus petits selon

${\prec }_E$

. La borne supérieure existe (ensemble d’ordinaux) et définit

${\rho }_E(x)$

. L’unicité découle de l’unicité de la définition par récurrence sur un ordre bien fondé. □

Lemme 2 (idempotence opératoire)

Énoncé. Pour tout

$X\subseteq E$

on a

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)$

.

Preuve. Par définition

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

est l’application constante égale à

$\mathrm{\varnothing }$

. Donc

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)$

. □

Proposition 1 (injectivité locale)

Énoncé. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est injective alors

$x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$

.

Preuve. Par définition

$x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(y)$

et

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est injective, alors

$x=y$

. □

Théorème 1 (croissance stricte de la profondeur le long des inclusions)

Énoncé. Soient

$E⊊F$

. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

est une extension canonique de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

et si l’extension introduit un élément

$z\in F\setminus E$

tel que

${\rho }_F(z)>{\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

, alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

.

Preuve. Par définition

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)={\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)={\sup }_{y\in F}{\rho }_F(y)$

. L’existence d’un

$z\in F\setminus E$

avec

${\rho }_F(z)>{\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

implique immédiatement

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)>\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

. La construction canonique permet de produire un tel

$z$

(par exemple en ajoutant un élément dont

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F(z)$

contient une chaîne de dépendances d’ordre supérieur). □

Théorème 2 (stabilité des points fixes transfinis)

Énoncé. Soit une tour

$E_0,E_1,\dots$

définie par

$E_{n+1}=E_n^{E_n}$

et

$E_{\lambda }={\bigcup }_{\beta <\lambda }{E}_{\beta }$

pour

$\lambda$

limite. Si

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

est la limite correspondant à l’ordinal

$\mathrm{\pounds }o$

(point fixe d’exponentiation), alors le zerfini

${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

est absorbant pour les itérations finies : pour tout

$n<\omega$

,

${\zeta }_{E_n}{\prec }_{\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}}{\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

et

${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}^{{\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}}={\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

.

Preuve (esquisse formelle). Par induction transfinie sur les étapes de la tour on montre que les profondeurs croissent strictement aux étapes successives (ou au moins non décroissent) et que la limite

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

est construite comme union des

$E_n$

. L’ordinal

$\mathrm{\pounds }o$

étant point fixe pour l’opération ordinal d’exponentiation (par hypothèse de la construction), la structure de dépendances de

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

est stable par l’opération

$X\mapsto X^X$

, d’où la stabilité du zerfini. Une formalisation complète suit la même induction transfinie en vérifiant à chaque étape la relation entre profondeurs et en utilisant la propriété de point fixe de

$\mathrm{\pounds }o$

. □

Construction ZFC explicite : schéma pas à pas (Annexe A — construction inductive)

1. Étape 0. Choisir un ensemble de codes
   $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   (par ex.
   $\mathbb{N}$
   via bijection de Gödel) et une injection
   $c_E:E\to \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$
   .

2. Étape
   $\beta$
   (successeur). Pour construire éléments de rang
   $\beta$
   : définir un ensemble d’éléments nouveaux
   $X_{\beta }$
   dont chaque
   $x\in X_{\beta }$
   a une empreinte
   $D_x\subseteq {\bigcup }_{\gamma <\beta }{X}_{\gamma }$
   finie et non vide, choisie minimalement selon l’ordre lexicographique sur codes. Ainsi
   $\rho (x)=\sup \{\rho (y)+1:y\in D_x\}\le \beta$
   .

3. Étape limite
   $\lambda$
   . Poser
   $X_{\lambda }={\bigcup }_{\gamma <\lambda }{X}_{\gamma }$
   .

4. Ensemble final. Prendre
   $E={\bigcup }_{\beta <\alpha }{X}_{\beta }$
   pour l’ordinal
   $\alpha$
   désiré (par ex.
   $\alpha =\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)+1$
   ).

Ce schéma garantit bien‑fondation et permet de réaliser toute paire

$(\kappa ,\alpha )$

en choisissant la taille des

$X_{\beta }$

pour atteindre le cardinal

$\kappa$

.

Exemples calculés codés (tableaux et explications)

Exemple 1 — 

${\zeta }_{\mathbb{N}}$

• Construction.
  $E=\mathbb{N}$
  . Choisir
  $c_{\mathbb{N}}(n)=$
  code de
  $n$
  . Poser
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{N}}(0)=\mathrm{\varnothing }$
  ,
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_{\mathbb{N}}(n)=\{0,1,\dots ,n-1\}$
  (empreinte minimale reconstructible).

• Rangs.
  $\rho (0)=0$
  ,
  $\rho (n)=n$
  .

• Profondeur.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{N}})={\sup }_{n\in \mathbb{N}}n=\omega$
  .

• Zerfini.
  ${\zeta }_{\mathbb{N}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
  .

Exemple 2 — 

${\zeta }_{\mathbb{Z}}$

• Construction.
  $E=\mathbb{Z}$
  . Choisir
  $c_{\mathbb{Z}}(n)$
  codes distincts. Poser
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n-1\}$
  pour
  $n>0$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(0)=\mathrm{\varnothing }$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n+1\}$
  pour
  $n<0$
  .

• Rangs. Les chaînes partent de 0 et s’étendent en une direction ; la profondeur maximale est
  $\omega$
  .

• Zerfini.
  ${\zeta }_{\mathbb{Z}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
  (sous la convention choisie).

Exemple 3 — 

${\zeta }_{\mathbb{R}}$

• Construction canonique choisie.
  $E=\mathbb{R}$
  . On fixe
  $c_{\mathbb{R}}$
  et on impose que pour chaque
  $x\in \mathbb{R}$
  l’empreinte
  $D_x$
  soit un ensemble fini de codes représentant une description constructive (par ex. décimales finies approximantes plus un code de règle). Pour refléter la richesse du continu, on adopte la convention canonique suivante : choisir la profondeur minimale non dénombrable, i.e.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{R}})={\omega }_1$
  .

• Zerfini.
  ${\zeta }_{\mathbb{R}}=(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\omega }_1)$
  (convention).

Robustesse des conventions de codage

• Les valeurs de
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  dépendent de la règle canonique pour
  $D_x$
  . La robustesse s’évalue selon deux axes : (i) invariance sous choix raisonnables de codage (les profondeurs changent peu si la règle est naturelle), (ii) sens mathématique (la profondeur est un ordinal bien défini). Les conventions proposées (empreinte minimale, codage de Gödel, construction inductive) garantissent ces deux propriétés pour les usages mathématiques et la table symétrique.

Discussion des limites et variantes

• Dépendance au codage.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  n’est pas une propriété purement catégorique de
  $E$
  sans fixer une règle de codage. La solution adoptée est de choisir une convention canonique (empreinte minimale via
  $A$
  ) ; d’autres conventions sont possibles et légitimes.

• Choix de
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{R}})={\omega }_1$
  vs alternatives.

  • Argument pour
    ${\omega }_1$
    : reflète une profondeur non dénombrable minimale, cohérente avec la complexité du continu.

  • Argument pour
    $\omega$
    : si l’on impose empreintes finies très simples (approximations décimales), la profondeur peut rester dénombrable.

  • Conséquence pratique : la table symétrique doit préciser la convention adoptée ; les résultats qualitatifs (existence de points fixes, absorption) restent valides quel que soit le choix, seuls les ordres précis changent.

• Cas pathologiques. Si
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  n’est pas bien fondée (cycles), la définition de
  ${\rho }_E$
  échoue. La construction inductive impose la bien‑fondation comme condition nécessaire.

• Interprétation physique (MNV). Toute application physique exige de traduire
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  en mécanismes physiques de stockage d’information ; ceci est spéculatif et nécessite modèles et simulations.

Annexe technique complète : preuve de la bijection 

$(\kappa ,\alpha )\leftrightarrow \zeta$

Énoncé précis

Soit

$\mathcal{C}=\{(\kappa ,\alpha )\mid \kappa \text{ cardinal},\alpha \text{ ordinal}\}$

. Soit

$\mathcal{Z}$

la classe des zerfinis modulo l’équivalence

$0_E\sim 0_F$

iff

$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }$

et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

. Alors l’application

$\mathrm{\Phi }:\mathcal{C}\to \mathcal{Z}$

définie par

$\mathrm{\Phi }(\kappa ,\alpha )=$

classe de

${\zeta }_E$

avec

$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\kappa ,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$

est bijective.

Preuve détaillée

1. Surjectivité. Soit
   $[0_E]\in \mathcal{Z}$
   une classe. Par définition
   $[0_E]$
   est déterminée par la paire
   $(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))\in \mathcal{C}$
   . Donc
   $[0_E]=\mathrm{\Phi }(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$
   . Ainsi
   $\mathrm{\Phi }$
   est surjective.

2. Injectivité. Supposons
   $\mathrm{\Phi }({\kappa }_1,{\alpha }_1)=\mathrm{\Phi }({\kappa }_2,{\alpha }_2)$
   . Alors les classes coïncident, donc il existe
   $E,F$
   tels que
   $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }={\kappa }_1,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)={\alpha }_1$
   et
   $\mathrm{\mid }F\mathrm{\mid }={\kappa }_2,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)={\alpha }_2$
   et
   $[0_E]=[0_F]$
   . Par définition de l’équivalence,
   ${\kappa }_1={\kappa }_2$
   et
   ${\alpha }_1={\alpha }_2$
   . Donc
   $\mathrm{\Phi }$
   est injective.

3. Existence constructive (réalisation de toute paire). Soit
   $(\kappa ,\alpha )\in \mathcal{C}$
   . Construire
   $E$
   de cardinal
   $\kappa$
   et
   ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
   par induction transfinie sur
   $\alpha$
   :

   • Si
     $\alpha =0$
     prendre
     $E$
     de cardinal
     $\kappa$
     et poser
     ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)=\mathrm{\varnothing }$
     pour tout
     $x$
     . Alors
     $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=0$
     .

   • Si
     $\alpha =\beta +1$
     successeur, construire
     $E$
     comme union d’un ensemble
     $E^{\mathrm{\prime }}$
     de profondeur
     $\beta$
     et d’un ensemble
     $S$
     de nouveaux éléments dont chaque
     $s\in S$
     a
     ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(s)\subseteq E^{\mathrm{\prime }}$
     et
     ${\sup }_{s\in S}\rho (s)=\beta$
     . Ajuster les tailles pour atteindre cardinal
     $\kappa$
     .

   • Si
     $\alpha$
     limite, construire
     $E={\bigcup }_{\beta <\alpha }{E}_{\beta }$
     avec
     $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{E_{\beta }})=\beta$
     et cardinalités choisies pour que la limite ait cardinal
     $\kappa$
     .
     Cette construction est réalisable en ZFC (axiome de remplacement, unions, choix pour répartir cardinalités). Ainsi toute paire est réalisée.

4. Conclusion.
   $\mathrm{\Phi }$
   est bijective. □