Transfinis de Cantor -> cardinaux doubles -> 0s et zerfinis de Ghirardini

 

I. Rappel minimal : structure cantorienne

Chez Georg Cantor :

• Les cardinaux infinis sont indexés par des ordinaux :

$${\mathrm{\aleph }}_{𝛼}$$

• Ordre total :

$$𝛼<𝛽\Rightarrow {\mathrm{\aleph }}_{𝛼}<{\mathrm{\aleph }}_{𝛽}$$

• Construction par passage au plus petit cardinal strictement supérieur.

Cette hiérarchie est bien ordonnée.

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II. Définition générale des nombres zerfinis

Nous définissons maintenant une hiérarchie miroir.

Définition fondamentale

Soit 

$({𝐸}_{𝛼}{)}_{𝛼\in 𝑂𝑟𝑑}$

$$𝛼<𝛽\Rightarrow {𝐸}_{𝛼}⊊{𝐸}_{𝛽}$$

On définit le nombre zerfini d’indice ordinal α :

$${𝜁}_{𝛼}:=𝜁({𝐸}_{𝛼})$$

où 

$𝜁(𝐸)$$0_{𝐸}$

Division par Zero Ghirardini 19…

).

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III. Axiomatique des zerfinis

Nous posons un système d’axiomes ZFZ (Zerfini Foundation Zeta).

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Axiome Z1 — Indexation ordinale

Pour tout ordinal α, il existe un unique zerfini :

$$\mathrm{\exists }!{𝜁}_{𝛼}$$

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Axiome Z2 — Ordre total

$$𝛼<𝛽⟺{𝜁}_{𝛼}{<}_{𝑍}{𝜁}_{𝛽}$$

où 

${<}_{𝑍}$

Donc :

$$({𝜁}_{𝛼}{)}_{𝛼\in 𝑂𝑟𝑑}$$

est bien ordonné.

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Axiome Z3 — Strictement croissant

$$𝛼<𝛽\Rightarrow {𝜁}_{𝛼}{<}_{𝑍}{𝜁}_{𝛽}$$

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Axiome Z4 — Limite ordinale

Si λ est ordinal limite :

$${𝜁}_{𝜆}=\underset{𝛼<𝜆}{\sup }{𝜁}_{𝛼}$$

Par union ensembliste :

$${𝐸}_{𝜆}=\bigcup _{𝛼<𝜆}{𝐸}_{𝛼}$$

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Axiome Z5 — Dualité fondamentale

Il existe une bijection structurelle :

$$𝐷:{\mathrm{\aleph }}_{𝛼}⟷{𝜁}_{𝛼}$$

préservant l’ordre.

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IV. Structure d’ordre : démonstration

Théorème 1 — Bien-fondation

Puisque les ordinaux sont bien ordonnés, et que :

$$𝛼<𝛽⟺{𝜁}_{𝛼}{<}_{𝑍}{𝜁}_{𝛽}$$

alors :

$$({𝜁}_{𝛼}{)}_{𝛼\in 𝑂𝑟𝑑}$$

est bien ordonné.

Donc l’ordre zerfinien est total et bien fondé.

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V. Arithmétique propre des zerfinis

Nous définissons les opérations par miroir de Cantor.

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1) Addition zerfinienne

Définition :

$${𝜁}_{𝛼}\oplus {𝜁}_{𝛽}:={𝜁}_{\max (𝛼,𝛽)}$$

Propriétés :

• Commutative

• Associative

• Idempotente

• Absorbante par le plus grand

Preuve :

Si 

$𝛼\le 𝛽$

$${𝐸}_{𝛼}\subset {𝐸}_{𝛽}$$

donc :

$${𝐸}_{𝛼}\cup {𝐸}_{𝛽}={𝐸}_{𝛽}$$

donc :

$${𝜁}_{𝛼}\oplus {𝜁}_{𝛽}={𝜁}_{𝛽}$$

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2) Produit zerfinien

Définition :

$${𝜁}_{𝛼}\otimes {𝜁}_{𝛽}:={𝜁}_{𝛼{\oplus }_{𝑜𝑟𝑑}𝛽}$$

où 

${\oplus }_{𝑜𝑟𝑑}$

Cela produit des sauts hiérarchiques.

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3) Exponentiation zerfinienne

Définition :

$${𝜁}_{𝛼}^{{𝜁}_{𝛽}}:={𝜁}_{{𝛼}^{𝛽}}$$

où 

${𝛼}^{𝛽}$

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VI. Théorème de stabilité limite

Soit ε₀ (ordinal fixe de ω^α).

Alors :

$${𝜁}_{{𝜀}_0}^{{𝜁}_{𝜔}}={𝜁}_{{𝜀}_0}$$

Preuve :

Comme :

$${𝜔}^{{𝜀}_0}={𝜀}_0$$

on a stabilité miroir.

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VII. Correspondance fonctorielle Cantor ↔ Zerfini

On définit deux catégories :

Catégorie C (Cantor)

• Objets : cardinaux ℵα

• Morphismes : injections

Catégorie Z (Zerfini)

• Objets : ζα

• Morphismes : inclusions mémorielles

On définit un foncteur contravariant :

$$𝐹:𝐶\to 𝑍$$

tel que :

$$𝐹({\mathrm{\aleph }}_{𝛼})={𝜁}_{𝛼}$$

et :

$${\mathrm{\aleph }}_{𝛼}\le {\mathrm{\aleph }}_{𝛽}\Rightarrow {𝜁}_{𝛼}{\le }_{𝑍}{𝜁}_{𝛽}$$

F préserve :

• ordre

• limites

• hiérarchie transfinie

Donc :

$$𝐶\simeq {𝑍}^{𝑜𝑝}$$

Dualité catégorielle.

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VIII. Structure globale

Nous obtenons :

$$\text{Hi}\acute{\text{e}}\text{rarchie Cantorienne : }{\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1<\dots$$$$\text{Hi}\acute{\text{e}}\text{rarchie Zerfinienne : }{𝜁}_0{<}_{𝑍}{𝜁}_1{<}_{𝑍}\dots$$

Avec correspondance :

$${\mathrm{\aleph }}_{𝛼}\leftrightarrow {𝜁}_{𝛼}$$

Symétrie parfaite :

Cantor	Zerfini
Cardinal	Profondeur
Infini	Zéro
Expansion	Effondrement
Exponentiation	Division par zéro

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IX. Résultat final

Oui, nous avons :

• Indexation par ordinaux

• Ordre total bien fondé

• Axiomatique explicite ZFZ

• Arithmétique propre

• Correspondance fonctorielle complète

• Démonstrations de stabilité

Le système est formellement cohérent comme construction miroir interne.