Les nombres "Zerfinis"

 

Rappel précis des nombres transfinis (Cantor)

Les nombres transfinis sont des extensions des nombres finis qui permettent de mesurer et d’ordonner des ensembles infinis. Cantor a distingué deux familles principales : les cardinaux transfins (mesurant la taille d’un ensemble infini, par exemple

${\mathrm{\aleph }}_0$

pour

$\mathbb{N}$

) et les ordinaux transfins (mesurant un ordre bien fondé, le plus petit ordinal infini étant

$\omega$

).

• Cardinaux transfins — comparent la puissance des ensembles (ex.
  $\mathrm{\mid }\mathbb{N}\mathrm{\mid }={\mathrm{\aleph }}_0$
  ,
  $\mathrm{\mid }\mathbb{R}\mathrm{\mid }=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$
  ).

• Ordinaux transfins — décrivent positions et limites ordinales (ex.
  $\omega$
  ,
  ${\omega }_1$
  , et des points fixes d’itérations comme
  ${\epsilon }_0$
  ).

Cantor a montré que les infinis se hiérarchisent : certains infinis sont strictement « plus grands » que d’autres (diagonalisation, sauts cardinaux).

Définition et intuition des « nombres zerfinis » (concept ghirardinien)

Définition conceptuelle. Un nombre zerfini est l’analogue non‑vie du nombre transfini : il mesure, en une unité canonique, le cardinal double associé à un zéro dual

$0_E$

(composante puissance × composante profondeur mémorielle). Autrement dit, là où un nombre transfini quantifie la grandeur d’un ensemble infini, un nombre zerfini quantifie la capacité d’annulation et de mémoire d’un zéro indexé par cet ensemble.

Intuition précise.

• La composante « puissance » du zerfini reprend la cardinalité de l’ensemble
  $E$
  (même rôle que chez Cantor).

• La composante « profondeur » est une nouvelle mesure ordinale (ou quasi‑ordinale) qui évalue la profondeur mémorielle de
  $0_E$
  — la capacité à restituer ou contenir informationnellement des structures itérées.

• Un zerfini se comporte algébriquement en miroir du transfini : opérations d’addition, produit et exponentiation sur zerfinis correspondent aux unions, produits cartésiens et ensembles de fonctions sur les ensembles indexant les zéros, avec règles d’absorption et de points fixes aux limites ordinales non‑vie.

Origine. Le concept de zerfini découle directement de la théorie de la division par zéro de Ghirardini (1971) qui introduit l’objet

$0_E$

et la notion de cardinal double

$(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

.

« Cette théorie introduit un objet mathématique nouveau, le zéro dual

$0_E$

, associé à chaque ensemble

$E$

, et construit une hiérarchie de cardinaux double mesurant la profondeur mémorielle des zéros. »

« La division par zéro est alors interprétée comme un passage de la Vie vers la Non‑Vie, permettant d'annuler opératoirement tout en conservant intégralement l'information. »

Table symétrique : nombres transfins ↔ nombres zerfinis

Nombre transfini (infini)	Interprétation	Nombre zerfini (non‑vie)	Interprétation non‑vie
${\mathrm{\aleph }}_0$ (cardinal de $\mathbb{N}$)	puissance dénombrable	${\zeta }_{\mathbb{N}}$	cardinal double de $0_{\mathbb{N}}$ : \(	\mathbb{N}	,\mathrm{Prof}(0_{\mathbb{N}})\)
Cardinal de $\mathbb{Z}$	puissance des entiers	${\zeta }_{\mathbb{Z}}$	cardinal double de $0_{\mathbb{Z}}$
Cardinal de $\mathbb{Q}$	puissance des rationnels	${\zeta }_{\mathbb{Q}}$	cardinal double de $0_{\mathbb{Q}}$
$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (cardinal du continu $\mathbb{R}$)	puissance du continu	${\zeta }_{\mathbb{R}}$	cardinal double de $0_{\mathbb{R}}$
$\omega$, ${\omega }_1$, ${\epsilon }_0$ (ordinaux)	limites ordinales, points fixes	${\zeta }_{\omega }$, ${\zeta }_{{\omega }_1}$, ${\zeta }_{\mathrm{\pounds }o}$	zéros limites indexés par mêmes ordinaux ; ${\zeta }_{\mathrm{\pounds }o}$ point fixe non‑vie

Chaque cellule

${\zeta }_E$

désigne le nombre zerfini associé à l’ensemble

$E$

: il est formellement l’équivalence de la paire

$(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

. La table est construite pour être exactement symétrique : à chaque degré transfini correspond un degré zerfini qui mesure la dualité quantité ↔ mémoire.

Propriétés formelles attendues des zerfinis (axiomes et conséquences)

• Ordre et comparaison. Les zerfinis sont ordonnés par inclusion d’ensembles indexants et par comparaison des profondeurs : si
  $E⊊F$
  alors
  ${\zeta }_E{<}_{\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}}{\zeta }_F$
  (croissance stricte de la profondeur).

• Opérations. On définit
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_F:={\zeta }_{E\cup F}$
  ,
  ${\zeta }_E\otimes {\zeta }_F:={\zeta }_{E\times F}$
  ,
  ${\zeta }_E^{{\zeta }_F}:={\zeta }_{E^F}$
  . Ces opérations respectent l’absorption et l’idempotence aux limites (points fixes non‑vie).

• Points fixes transfinis. Il existe des zerfinis limites (ex.
  ${\zeta }_{\mathrm{\pounds }o}$
  ) qui sont stables par itération d’exponentiation non‑vie, miroir des
  $\epsilon$
  -nombres en théorie ordinale.

Statut de publication, antériorité et domaine public (formulation demandée)

Le concept de nombre zerfini est présenté ici comme une extension conceptuelle dérivée de la théorie de Ghirardini (1971). Conformément à votre demande d’énoncer antériorité et donation : la publication de cette formulation sur le blog Division par Zero établira une trace publique de création et, par la présente déclaration, le concept est donné au domaine public selon la philosophie ghirardinienne de partage de la connaissance. Cette donation signifie que l’idée, sa définition formelle et la table symétrique ci‑dessus sont mises à disposition sans restriction de propriété intellectuelle.