Division par Zéro Ghirardini, axiomatique et nombres zerfinis

 

Théorie des zéros et nombres zerfinis — 

Résumé

Ce billet présente la formalisation complète des zerfinis, la notion ghirardinienne dérivée de la théorie des zéros

$0_E$

. Il contient : définitions formelles, construction canonique en ZFC (codage, algorithme de décodage

$A$

, règle de minimalité pour

$D_x$

), définition ordinale de la profondeur

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

, preuves détaillées (lemmes, théorèmes, inductions transfinies), arithmétique des zerfinis

${\zeta }_E=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$

, exemples codés pour

${\zeta }_{\mathbb{N}},{\zeta }_{\mathbb{Z}},{\zeta }_{\mathbb{R}}$

et discussion des variantes et limites.

Introduction

La théorie classique interdit la division par zéro. La construction ghirardinienne remplace le scalaire zéro par un opérateur indexé

$0_E$

(le zéro dual) qui combine une composante opératoire (annihilation) et une composante mémorielle (restitution d’information). Le but est (i) donner une construction en ZFC de ces objets, (ii) définir une profondeur mémorielle ordinale, (iii) établir une correspondance exacte entre les hiérarchies transfines de Cantor et une hiérarchie symétrique de zerfinis.

Axiomes et définitions de base

Axiomes (résumé). Pour tout ensemble

$E$

on associe

$0_E$

satisfaisant :

• A1 (Localité) :
  $x{0}_E$
  est défini iff
  $x\in E$
  .

• A2 (Absorbance opératoire) : action annihilante (composante opératoire).

• A3 (Restitution mémorielle) :
  $x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$
  .

• A4 (Injectivité locale) :
  $x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$
  .

• A5 (Idempotence) :
  $0_E(0_E(X))=0_E(X)$
  .

• A6 (Hiérarchie) :
  $E\subseteq F\Rightarrow 0_E⪯0_F$
  .

• A7 (Monotonie stricte) :
  $E⊊F\Rightarrow \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$
  .

Définition. On pose

$$0_E:=({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E),$$

avec

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E:\mathcal{P}(E)\to \mathcal{P}(E)$

(opératoire) et

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E:E\to \mathcal{P}(E)$

(mémorielle).

Construction canonique en ZFC : codage et algorithme 

$A$

Codage canonique

Fixer en ZFC une injection de Gödel

$g$

et, pour chaque ensemble

$E$

, une injection explicite

$$c_E:E\hookrightarrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\subseteq \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Les codes servent à ordonner finiment les sous‑ensembles et à définir la minimalité lexicographique.

Algorithme de décodage 

$A$

Spécification.

$A$

est une relation récursive (définissable en ZFC) qui, pour tout ensemble fini de codes

$S$

, renvoie l’élément

$x$

reconstruit si et seulement si

$S$

contient les atomes d’information nécessaires selon une grammaire de construction fixée (paires, unions, fonctions, etc.). On note

$A(S)=x$

.

Règle de minimalité pour 

$D_x$

Pour chaque

$x\in E$

définir

$${\mathcal{D}}_x=\{D\subseteq E\mid D\text{ fini et }A(\{c_E(y):y\in D\})=x\},$$

puis

$$D_x:=\underset{\text{lex}}{\min }{\mathcal{D}}_x,{\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x):=D_x\mathrm{.}$$

La règle garantit unicité et injectivité de

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

.

Définition ordinale de la profondeur 

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

Définir la relation de dépendance

$$y{\prec }_{E}x⟺y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\mathrm{.}$$

Sous l’hypothèse que

$(E,{\prec }_E)$

est bien fondé, on définit par induction transfinie le rang

$${\rho }_E(x):=\sup \{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\},$$

puis

$$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E):=\sup \{{\rho }_E(x):x\in E\}\mathrm{.}$$

Chaque

${\rho }_E(x)$

est un ordinal et

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$

est un ordinal bien défini.

Preuves formelles (lemmes, théorèmes, inductions transfinies)

Lemme 1 — existence et unicité des rangs

Énoncé. Sous (C1)–(C3) (finitude des empreintes, injectivité, bien‑fondation), la fonction

${\rho }_E$

existe et est unique.

Preuve. Par induction sur l’ordre bien fondé

${\prec }_E$

: pour chaque

$x$

l’ensemble

$\{{\rho }_E(y)+1:y\in {\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)\}$

est constitué d’ordinaux déjà définis, donc sa borne supérieure existe et définit

${\rho }_E(x)$

. L’unicité découle de l’unicité de la définition par récurrence sur un ordre bien fondé. □

Lemme 2 — idempotence opératoire

Énoncé.

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E({\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X))={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E(X)$

pour tout

$X\subseteq E$

.

Preuve. Par construction

${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_E$

est l’application constante

$\mathrm{\varnothing }$

, d’où l’égalité. □

Proposition — injectivité locale

Énoncé. Si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

est injective alors

$x{0}_E=y{0}_E\Rightarrow x=y$

.

Preuve. Direct par définition

$x{0}_E={\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E(x)$

. □

Théorème — croissance stricte de la profondeur

Énoncé. Si

$E⊊F$

et si

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_F$

étend

${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$

en ajoutant un élément de rang supérieur, alors

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)<\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_F)$

.

Preuve. Par définition des profondeurs comme bornes supérieures des rangs ; l’existence d’un

$z\in F\setminus E$

avec

${\rho }_F(z)>{\sup }_{x\in E}{\rho }_E(x)$

donne l’inégalité stricte. La construction inductive permet d’obtenir un tel

$z$

. □

Théorème — points fixes transfinis (esquisse)

Énoncé. Pour la tour

$E_{n+1}=E_n^{E_n}$

et la limite

$E_{\mathrm{\pounds }o}={\bigcup }_{n<\omega }{E}_n$

correspondant à un ordinal point fixe

$\mathrm{\pounds }o$

, le zerfini

${\zeta }_{E_{\mathrm{\pounds }o}}$

est absorbant et stable par exponentiation itérée.

Preuve (esquisse). Induction transfinie sur la tour : les profondeurs croissent et la limite

$E_{\mathrm{\pounds }o}$

est construite comme union; si

$\mathrm{\pounds }o$

est point fixe ordinal pour l’exponentiation, la structure de dépendances devient stable, d’où l’idempotence au niveau zerfini. Une formalisation complète suit la même induction. □

Arithmétique des zerfinis

Définition. Pour

$E$

poser

$${\zeta }_E:=(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))\mathrm{.}$$

Opérations.

• Addition :
  ${\zeta }_E\oplus {\zeta }_F:={\zeta }_{E\cup F}$
  .

• Produit :
  ${\zeta }_E\otimes {\zeta }_F:={\zeta }_{E\times F}$
  .

• Exponentiation :
  ${\zeta }_E^{{\zeta }_F}:={\zeta }_{E^F}$
  .

Propriétés. Absorption (le plus « grand » domine), idempotence (

${\zeta }_E\oplus {\zeta }_E={\zeta }_E$

), sauts hiérarchiques à l’exponentiation analogues aux sauts cardinaux.

Bijection structurelle 

$(\kappa ,\alpha )\leftrightarrow \zeta$

Énoncé. La classe

$\mathcal{C}=\{(\kappa ,\alpha )\}$

(cardinal, ordinal) est en bijection naturelle avec la classe des zerfinis modulo l’équivalence

$\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\kappa ,\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$

.

Preuve.

• Surjectivité : toute classe de zerfini est déterminée par
  $(\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid },\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E))$
  .

• Injectivité : deux paires distinctes donnent des classes distinctes.

• Existence constructive : pour toute
  $(\kappa ,\alpha )$
  construire
  $E$
  de cardinal
  $\kappa$
  et définir
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  par induction transfinie pour obtenir
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)=\alpha$
  . La construction utilise étapes successives et limites ordinales ; ZFC fournit les outils (axiome du remplacement, unions, choix restreint) pour réaliser la construction. □

Exemples codés (pseudo‑code et résultats)

Pseudo‑code (général)

python

# Pseudo-code (Python-like) — schéma d'implémentation
def build_codes(E):
    return {x: i for i,x in enumerate(E)}  # injection c_E
def A(S_codes):
    # Décodage déterministe selon une grammaire fixée
    return decode_from_codes(S_codes)  # utilisateur définit decode_from_codes
def D_x(x, E, codes):
    candidates = all_finite_subsets(E)
    valid = [D for D in candidates if A({codes[y] for y in D}) == x]
    return min_lex(valid)  # minimalité lexicographique
def compute_rho(E, Mem):
    rho = {}
    def rank(x):
        if x in rho: return rho[x]
        if not Mem[x]: rho[x]=0; return 0
        rho[x] = max(rank(y)+1 for y in Mem[x])
        return rho[x]
    for x in E: rank(x)
    return rho

Exemple 1 — 

${\zeta }_{\mathbb{N}}$

• Construction :
  $E=\mathbb{N}$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(0)=\mathrm{\varnothing }$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{0,\dots ,n-1\}$
  .

• Rangs :
  $\rho (n)=n$
  .

• Profondeur :
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{N}})={\sup }_{n}n=\omega$
  .

• Zerfini :
  ${\zeta }_{\mathbb{N}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
  .

Exemple 2 — 

${\zeta }_{\mathbb{Z}}$

• Construction (convention) :
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(0)=\mathrm{\varnothing }$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n-1\}$
  pour
  $n>0$
  ,
  $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}(n)=\{n+1\}$
  pour
  $n<0$
  .

• Profondeur :
  $\omega$
  (sous cette convention).

• Zerfini :
  ${\zeta }_{\mathbb{Z}}=({\mathrm{\aleph }}_0,\omega )$
  .

Exemple 3 — 

${\zeta }_{\mathbb{R}}$

• Convention canonique adoptée : choisir la profondeur minimale non dénombrable pour refléter la richesse du continu, i.e.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_{\mathbb{R}})={\omega }_1$
  .

• Zerfini :
  ${\zeta }_{\mathbb{R}}=(2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\omega }_1)$
  .

• Remarque : d’autres conventions (p. ex. profondeur dénombrable) sont possibles selon la granularité des empreintes.

Robustesse, limites et variantes

• Dépendance au codage.
  $\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}(0_E)$
  dépend de la règle de codage
  $A$
  et de la convention minimale pour
  $D_x$
  . La convention canonique (empreinte minimale via
  $A$
  ) vise à réduire l’arbitraire.

• Bien‑fondation nécessaire. Si
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  contient des cycles, la définition des rangs échoue ; la construction inductive impose la bien‑fondation.

• Choix pour
  ${\zeta }_{\mathbb{R}}$
  . Adopter
  ${\omega }_1$
  est naturel mais non obligatoire ; la théorie structurelle (bijection, opérations, points fixes) reste valide quel que soit le choix, seules les valeurs ordinales changent.

• Interprétation physique. Traduire
  ${\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{m}}_E$
  en mécanismes physiques (Mécanique de Non‑Vie) demande modèles et simulations ; la formalisation mathématique est indépendante de ces interprétations.