Indétermination de la forme 0/0

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En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit que l'on a affaire à une indétermination du type 0/0. Pour lever l'indétermination, il existe de nombreuses techniques - procédés algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée ou du développement limité ) - dont certaines sont présentées dans cet article.

On parle de forme indéterminée pour la limite car, dans une situation de ce type, on peut être amené, après transformation, selon les cas, à conclure que la limite est nulle, ou bien est un réel non nul, ou bien est infinie ou bien même n'existe pas.

Sommaire

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1 Quelques procédés algébriques
- 1.1 Cas des fonctions rationnelles
- 1.2 Cas des fonctions comportant des racines carrées
2 Changement de variable
3 Quelques procédés analytiques
- 3.1 Dérivée
- 3.2 Développements limités

Quelques procédés algébriques

Cas des fonctions rationnelles

Soit f est une fonction rationnelle,

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

où P et Q sont des fonctions polynômes.

si a est un réel tel que Q(a) = 0, on peut être amené à chercher la limite en a de f. Si P(a) = 0, un calcul simple de limite conduit à une indétermination de la forme 0/0.

Une propriété concernant les polynômes va permettre de lever cette indétermination : pour tout polynôme P, tel que P(a) = 0, il existe un polynome P₁ de degré moindre tel que P(x) = (x - a)P₁(x). Autrement dit, si a est racine de P , P est factorisable par x - a. Cette factorisation peut s'obtenir par identification ou en utilisant la méthode de Horner.

Dans le cas de cette limite, les polynômes P et Q ayant tous les deux comme racine a, on peut écrire pour tout x de l'ensemble de définition de f,

$f(x) = \frac{(x - a) P_1(x)}{(x-a)Q_1(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = f_1(x)$ .

Rechercher la limite en a de f revient à chercher la limite en a de f₁.

La recherche de la limite en a de f₁ peut conclure à une absence de limite, à une limite infinie ou à une limite réelle.

Exemples

$f(x) = \frac{x^2+3x-4}{2x^2-x-1}$ et a = 1.

Un simple calcul prouve que le numérateur et le dénominateur s'annulent en 1. Une factorisation par (x - 1) est donc possible. Pour tout x de Df,

$f(x) = \frac{(x - 1)(x+4)}{(x-1)(2x+1)} = \frac{x+4}{2x+1}$ ,

$\lim_{x \to 1} f(x) =\lim_{x \to 1} \frac{x+4}{2x+1} = \frac 53$ .

$f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+4}$ et a = -2.

Le numérateur et le dénominateur s'annulant en -2, il doit être possible de mettre x + 2 en facteur. Pour tout x de Df,

$f(x) = \frac{2(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{2}{x+2}$ .

Cette seconde fonction ne possède pas de limite en - 2. Elle possède cependant des limites à droite et à gauche en - 2 :

$\lim_{x \to - 2^+} \frac{2}{x+2} = + \infty$ .

$f(x) = (\frac 14 - x^2)(x-2)^{-1}$ et a = 2.

Cette fonction est bien une fonction rationnelle qui, remise sous sa forme canonique, donne, pour tout x différent de 2 et de 0,

$f(x) = \frac{x^2-4}{4x^2}\frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{4x^2}$ .

Il est alors simple d'en calculer la limite en 2 :

$\lim_2 f = \frac 14$ .

Cas des fonctions comportant des racines carrées

Lorsqu'il existe, dans le quotient, des racines carrées, l'idée est de transférer l'indétermination à une foncton rationnelle pour utiliser la technique précédente. Le transfert se fait, en général en multipliant numérateur et dénominateur par une quantité conjuguée.

Exemples

$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 6x} - 4}{x^2 - 2x}$ et a = 2.

On multiplie alors numérateur et dénominateur par $\sqrt{x^2 + 6x}+4$ :

$f(x) = \frac{x^2+6x-16}{x^2-2x}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4}$ ,

$f(x) = \frac{(x-2)(x+8)}{x(x-2)}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4 }= \frac{x+8}{x}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4}$ .

Le calcul de la limite sous la dernière forme se fait aisément :

$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{10}{2}\frac{1}{8} = \frac 58$ .

$f(x) = \frac{\sqrt x}{x}$ et a = 0.

On multiplie numérateur et dénominateur par √x (ou bien on simplifie par √x - ce qui revient au même).

$f(x) = \frac{x}{x}\frac{1}{\sqrt x} = \frac{1}{\sqrt x}\, .$

Cette dernière limite se calcule aisément :

$\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty\, .$

Changement de variable

Le changement de variable permet parfois, par modification de la forme de la fonction considérée, de mettre en évidence une factorisation ou une limite de référence. Il faut cependant faire attention : un changement de variable entraîne aussi une modification de la valeur vers laquelle tend la variable. Le principe du changement de variable s'appuie sur la propriété de la limite d'une fonction composée.

Exemples

Soit f une fonction définie sur les intervalles réels [0;4[ et ]4;+∞[ par

$f(x) =\frac{\sqrt x - 2}{x - 4}$ .

En première approche, la recherche de la limite de la fonction f quand la variable x tend vers 4 mène vers une indétermination de la forme 0/0. On propose alors le changement de variable suivant :

$u=\sqrt x$ .

On remarque que, lorsque x tend vers 4 alors u tend vers 2.

On a de plus :

$f(x) = \frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{u-2}{u^2 - 4}$ .

On peut alors rechercher la limite d'une fonction g telle que pour tout u de [0;2[ ou ]2;+∞[,

$g(u) = \frac{u-2}{u^2 - 4}$

quand u tend vers 2 . Par factorisation , on en déduit que la limite recherchée initialement est 1/4.

$f(x) = \frac {e^{1/x}}{x}$ et $a = 0 -$ .

Il s'agit encore d'une indétermination 0/0. On pose alors

u= 1/x.

On remarque alors que

f(x) = ue^u,

et que, lorsque x tend vers 0 par la gauche, u tend vers $- \infty$ .

$\lim_{u \to -\infty} ue^u = 0$ (limite de référence),

donc

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ .

Quelques procédés analytiques

Les procédés analytiques utilisent les propriétés de dérivabilité des fonctions en présence, ou bien l'existence de développements limités

Dérivée [modifier]

L'apparition la plus fréquente d'une indétermination du type 0/0 concerne le calcul de la dérivée en a à partir du taux d'accroissement de la fonction : si la fonction f est dérivable en a alors

$\lim _{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$

L'utilisation d'une dérivée est donc un moyen simple de lever une indétermination de ce type. Elle donne l'occasion de présenter des indétermination 0/0 de référence

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

ici f(x) = sin(x), a = 0, f'(x) = cos(x) et f'(0) = 1

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0$

ici f(x) = cos(x), a = 0, f'(x) = - sin(x) et f'(0) = 0

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

ici f(x) = ln(x), a = 1, f'(x) =1/x et f'(1) = 1

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

ici f(x)= e^x, a = 0, f'(x) =e^x et f'(0) = 1

Il peut donc être utile dans de nombreuses expressions de faire apparaitre des taux d'accroissement quand l'indétermination est du type 0/0;

Voir l’article règle de L'Hôpital.

Cette méthode exploitée plus à fond, conduit à la règle de L'Hôpital : si f et g ont pour limite 0 en a et si le quotient des dérivées f'/g' admet une limite en a, cette limite est aussi la limite en a de f/g

Développements limités

Un développement limité au voisinage de a, du numérateur et du dénominateur permet aussi souvent de résoudre simplement une indétermination de ce type.

Exemple

$f(x) = \frac{e^{x^2}-\cos(x)}{\sin^2(x)}$ et a = 0.

Le calcul direct des limites mène à une indétermination de la forme 0/0. Il est alors utile de rechercher un développement limité au voisinage de 0 des différentes fonctions de référence en présence. Un développement limité d'ordre 1 ne permettra pas de conclure mais un développement limité d'ordre 2 permet de lever l'indétermination.

$e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)\,$ ,

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\,$ ,

$\sin^2(x) = x^2 + o(x^2)\,$ ,

donc

$f(x) = \frac{\frac 32 x^2 + o(x^2)}{x^2+o(x^2)} = \frac{\frac 32 + o(x^2)/x^2}{1+o(x^2)/x^2}$ .

Le passage à la limite se fait alors aisément :

$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac 32$ .

Division par zéro

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En mathématiques, une division par zéro est une division dans laquelle le diviseur serait zéro. Ainsi, une division par zéro s'écrirait $\frac{x}{0}$ , où $x$ serait le dividende.

En algèbre, la division par zéro n'est pas définie. En analyse, sous certaines conditions, il est possible de calculer la limite d'un quotient dont le dénominateur est une suite ou une fonction de limite nulle.

En informatique, une division par zéro cause une erreur qui peut, dans certains cas, nuire sérieusement au déroulement du programme.

Explication de l'impossibilité de la division par 0 [modifier]

L'explication qui suit est valable dans un anneau commutatif quelconque, c'est-à-dire un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication) vérifiant les propriétés algébriques usuelles. En particulier, l'ensemble des nombres entiers (relatifs), celui des nombres réels, ou encore celui des nombres complexes rentrent dans ce cadre. On note $0$ l'élément neutre de l'addition (le « zéro » en question), et $1$ l'élément neutre de la multiplication. Il s'agit de montrer que zéro ne peut pas être un élément inversible de l'anneau.

Si c'était le cas, en notant $a$ l'inverse de zéro, on aurait, par définition d'un inverse, $0\times a=1$ (ce qu'on pourrait noter aussi $a=\frac{1}{0}$ ). Mais, dans tout anneau, on montre aisément qu'on a, pour tout $a$ , l'égalité $0\times a=0$ (on dit que $0$ est élément absorbant pour la multiplication). En effet, par distributivité de la multiplication sur l'addition, on peut écrire $(0+0)\times a=0\times a+0\times a$ , et comme on a $0 + 0 = 0$ , cela entraîne, après avoir soustrait $0\times a$ à chaque membre, l'égalité $0=0\times a$ . On obtiendrait alors l'égalité $0 = 1$ , à partir de laquelle on prouve aisément que tout élément de l'anneau est égal à $0$ . En résumé, le seul anneau où la notion de division par zéro aurait un sens serait réduit à un seul élément, ce qu'on exclut en général de la définition d'un anneau (qui requiert ainsi que $0$ et $1$ soient distincts).

C'est pourquoi la division par zéro n'a non seulement pas de sens dans les ensembles de nombres usuels (entiers, réels ou complexes), mais plus généralement dans tout ensemble de nombres vérifiant les propriétés algébriques usuelles vis à vis de l'addition et de la multiplication (ce qu'on appelle un anneau). Il n'y a donc pas d'espoir de construire un nouvel ensemble de nombres qui donnerait un sens à l'inverse de zéro (comme celui des nombres complexes donne un sens à la racine carrée de $- 1$ ), sauf si l'on accepte de perdre des propriétés essentielles du calcul algébrique usuel (notamment la distributivité de la multiplication sur l'addition).

Notion de limite

On ne peut ainsi pas donner de sens au quotient $\frac{1}{0}$ . Mais en analyse, on peut essayer de donner un sens à la limite du quotient $\frac{1}{x}$ lorsque $x$ tend vers zéro. Ainsi, si $x$ désigne un nombre réel, le quotient $\frac{1}{x}$ peut avoir une valeur absolue aussi grande qu'on veut, à condition de prendre $x$ suffisamment proche de zéro. On écrit cela

$\lim_{x\to 0}\left|\frac{1}{x}\right|=+\infty,$

et on dit que la valeur absolue de ce quotient admet pour limite « plus l'infini » lorsque $x$ tend vers zéro. Si l'on veut se passer de la valeur absolue, il faut distinguer deux cas, selon que $x$ tend vers zéro par valeurs négatives (dans ce cas, le quotient tend vers $-\infty$ ) ou positives (le quotient tend alors vers $+\infty$ ).