Indétermination de la forme 0/0

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En mathématiques, en analyse réelle, le calcul de limite mène parfois à la situation suivante : dans un quotient, le numérateur et le dénominateur ont tous les deux pour limite 0. Dans ce cas, aucune règle opératoire sur les limites ne s'applique, on dit que l'on a affaire à une indétermination du type 0/0. Pour lever l'indétermination, il existe de nombreuses techniques - procédés algébriques (factorisation) ou analytiques (utilisation de la dérivée ou du développement limité ) - dont certaines sont présentées dans cet article.

On parle de forme indéterminée pour la limite car, dans une situation de ce type, on peut être amené, après transformation, selon les cas, à conclure que la limite est nulle, ou bien est un réel non nul, ou bien est infinie ou bien même n'existe pas.

Sommaire

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1 Quelques procédés algébriques
- 1.1 Cas des fonctions rationnelles
- 1.2 Cas des fonctions comportant des racines carrées
2 Changement de variable
3 Quelques procédés analytiques
- 3.1 Dérivée
- 3.2 Développements limités

Quelques procédés algébriques

Cas des fonctions rationnelles

Soit f est une fonction rationnelle,

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

où P et Q sont des fonctions polynômes.

si a est un réel tel que Q(a) = 0, on peut être amené à chercher la limite en a de f. Si P(a) = 0, un calcul simple de limite conduit à une indétermination de la forme 0/0.

Une propriété concernant les polynômes va permettre de lever cette indétermination : pour tout polynôme P, tel que P(a) = 0, il existe un polynome P₁ de degré moindre tel que P(x) = (x - a)P₁(x). Autrement dit, si a est racine de P , P est factorisable par x - a. Cette factorisation peut s'obtenir par identification ou en utilisant la méthode de Horner.

Dans le cas de cette limite, les polynômes P et Q ayant tous les deux comme racine a, on peut écrire pour tout x de l'ensemble de définition de f,

$f(x) = \frac{(x - a) P_1(x)}{(x-a)Q_1(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} = f_1(x)$ .

Rechercher la limite en a de f revient à chercher la limite en a de f₁.

La recherche de la limite en a de f₁ peut conclure à une absence de limite, à une limite infinie ou à une limite réelle.

Exemples

$f(x) = \frac{x^2+3x-4}{2x^2-x-1}$ et a = 1.

Un simple calcul prouve que le numérateur et le dénominateur s'annulent en 1. Une factorisation par (x - 1) est donc possible. Pour tout x de Df,

$f(x) = \frac{(x - 1)(x+4)}{(x-1)(2x+1)} = \frac{x+4}{2x+1}$ ,

$\lim_{x \to 1} f(x) =\lim_{x \to 1} \frac{x+4}{2x+1} = \frac 53$ .

$f(x) = \frac{2x+4}{x^2+4x+4}$ et a = -2.

Le numérateur et le dénominateur s'annulant en -2, il doit être possible de mettre x + 2 en facteur. Pour tout x de Df,

$f(x) = \frac{2(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{2}{x+2}$ .

Cette seconde fonction ne possède pas de limite en - 2. Elle possède cependant des limites à droite et à gauche en - 2 :

$\lim_{x \to - 2^+} \frac{2}{x+2} = + \infty$ .

$f(x) = (\frac 14 - x^2)(x-2)^{-1}$ et a = 2.

Cette fonction est bien une fonction rationnelle qui, remise sous sa forme canonique, donne, pour tout x différent de 2 et de 0,

$f(x) = \frac{x^2-4}{4x^2}\frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{4x^2}$ .

Il est alors simple d'en calculer la limite en 2 :

$\lim_2 f = \frac 14$ .

Cas des fonctions comportant des racines carrées

Lorsqu'il existe, dans le quotient, des racines carrées, l'idée est de transférer l'indétermination à une foncton rationnelle pour utiliser la technique précédente. Le transfert se fait, en général en multipliant numérateur et dénominateur par une quantité conjuguée.

Exemples

$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 6x} - 4}{x^2 - 2x}$ et a = 2.

On multiplie alors numérateur et dénominateur par $\sqrt{x^2 + 6x}+4$ :

$f(x) = \frac{x^2+6x-16}{x^2-2x}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4}$ ,

$f(x) = \frac{(x-2)(x+8)}{x(x-2)}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4 }= \frac{x+8}{x}\frac{1}{\sqrt{x^2 + 6x}+4}$ .

Le calcul de la limite sous la dernière forme se fait aisément :

$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{10}{2}\frac{1}{8} = \frac 58$ .

$f(x) = \frac{\sqrt x}{x}$ et a = 0.

On multiplie numérateur et dénominateur par √x (ou bien on simplifie par √x - ce qui revient au même).

$f(x) = \frac{x}{x}\frac{1}{\sqrt x} = \frac{1}{\sqrt x}\, .$

Cette dernière limite se calcule aisément :

$\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty\, .$

Changement de variable

Le changement de variable permet parfois, par modification de la forme de la fonction considérée, de mettre en évidence une factorisation ou une limite de référence. Il faut cependant faire attention : un changement de variable entraîne aussi une modification de la valeur vers laquelle tend la variable. Le principe du changement de variable s'appuie sur la propriété de la limite d'une fonction composée.

Exemples

Soit f une fonction définie sur les intervalles réels [0;4[ et ]4;+∞[ par

$f(x) =\frac{\sqrt x - 2}{x - 4}$ .

En première approche, la recherche de la limite de la fonction f quand la variable x tend vers 4 mène vers une indétermination de la forme 0/0. On propose alors le changement de variable suivant :

$u=\sqrt x$ .

On remarque que, lorsque x tend vers 4 alors u tend vers 2.

On a de plus :

$f(x) = \frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{u-2}{u^2 - 4}$ .

On peut alors rechercher la limite d'une fonction g telle que pour tout u de [0;2[ ou ]2;+∞[,

$g(u) = \frac{u-2}{u^2 - 4}$

quand u tend vers 2 . Par factorisation , on en déduit que la limite recherchée initialement est 1/4.

$f(x) = \frac {e^{1/x}}{x}$ et $a = 0 -$ .

Il s'agit encore d'une indétermination 0/0. On pose alors

u= 1/x.

On remarque alors que

f(x) = ue^u,

et que, lorsque x tend vers 0 par la gauche, u tend vers $- \infty$ .

$\lim_{u \to -\infty} ue^u = 0$ (limite de référence),

donc

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ .

Quelques procédés analytiques

Les procédés analytiques utilisent les propriétés de dérivabilité des fonctions en présence, ou bien l'existence de développements limités

Dérivée [modifier]

L'apparition la plus fréquente d'une indétermination du type 0/0 concerne le calcul de la dérivée en a à partir du taux d'accroissement de la fonction : si la fonction f est dérivable en a alors

$\lim _{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$

L'utilisation d'une dérivée est donc un moyen simple de lever une indétermination de ce type. Elle donne l'occasion de présenter des indétermination 0/0 de référence

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

ici f(x) = sin(x), a = 0, f'(x) = cos(x) et f'(0) = 1

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0$

ici f(x) = cos(x), a = 0, f'(x) = - sin(x) et f'(0) = 0

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$

ici f(x) = ln(x), a = 1, f'(x) =1/x et f'(1) = 1

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

ici f(x)= e^x, a = 0, f'(x) =e^x et f'(0) = 1

Il peut donc être utile dans de nombreuses expressions de faire apparaitre des taux d'accroissement quand l'indétermination est du type 0/0;

Voir l’article règle de L'Hôpital.

Cette méthode exploitée plus à fond, conduit à la règle de L'Hôpital : si f et g ont pour limite 0 en a et si le quotient des dérivées f'/g' admet une limite en a, cette limite est aussi la limite en a de f/g

Développements limités

Un développement limité au voisinage de a, du numérateur et du dénominateur permet aussi souvent de résoudre simplement une indétermination de ce type.

Exemple

$f(x) = \frac{e^{x^2}-\cos(x)}{\sin^2(x)}$ et a = 0.

Le calcul direct des limites mène à une indétermination de la forme 0/0. Il est alors utile de rechercher un développement limité au voisinage de 0 des différentes fonctions de référence en présence. Un développement limité d'ordre 1 ne permettra pas de conclure mais un développement limité d'ordre 2 permet de lever l'indétermination.

$e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)\,$ ,